Please enable Javascript to view the contents

·  ☕ 62 分钟

## 1. 物体机械运动的基本规律

### 1.1. 物体运动的描述

#### 1.1.1. 描述物体运动的特征量

$$\pmb r=\pmb r(t)$$

$$\overrightarrow{MM'}=\Delta \pmb r=\pmb r(t+\Delta t)-\pmb r(t)$$

$$\Delta s=\widehat{MM'}$$

$$\Delta \pmb r\approx \Delta s\cdot \pmb \tau$$

$$\pmb v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb r}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}$$

$$\pmb v=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\pmb \tau$$

$$v=|\pmb v|=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}$$

$$\pmb a=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb v}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\pmb r}{\mathrm dt^2}$$

$$\pmb a=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau+v\frac{\mathrm d\pmb \tau}{\mathrm dt}$$

$$v\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm dt}=v\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm ds}\cdot\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=v^2\frac{\mathrm d\pmb \tau}{\mathrm ds}$$

$$\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm ds}=\frac{1}{\rho}\pmb n$$

$$\pmb a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau+\frac{v^2}{\rho}\pmb n$$

$$\pmb a_\tau=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau=\frac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}\pmb \tau,\ \ \ \ \pmb a_n=\frac{v^2}{\rho}\pmb n$$
$\pmb a_\tau$沿动点轨迹的切线方向，其大小等于速度大小对时间的变化率，称为**切向加速度**

$\pmb a_n$沿动点轨迹的主法线，指向曲率中心，其大小代表速度矢量方向改变的快慢程度，称为法向加速度

$$|\pmb a|=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=\sqrt{\Big(\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\Big)^2+\Big(\frac{v^2}{\rho}\Big)^2}$$

$$\pmb r=x\pmb i+y\pmb j+z\pmb k$$

$$\begin{cases} \pmb v=\dot x\pmb i+\dot y\pmb j+\dot z\pmb k\\\\ \pmb a=\ddot x\pmb i+\ddot y\pmb j+\ddot z\pmb k \end{cases}$$

$$\begin{matrix} v_x=\dot x&v_y=\dot y&v_z=\dot z \end{matrix}$$

$$v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}$$

$$\begin{matrix} a_x=\ddot x&a_y=\ddot y&a_z=\ddot z \end{matrix}$$

$$a=\sqrt{\ddot x^2+\ddot y^2+\ddot z^2}$$

$$a_\tau=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\dot x\ddot x+\dot y\ddot y+\dot z\ddot z}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}}$$

$$a_n\frac{v^2}{\rho}=\frac{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}{\rho}$$
**极坐标下的运动描述**

$$\begin{matrix} \rho=\rho(t)&\varphi=\varphi(t) \end{matrix}$$

$$\pmb r=\rho\pmb \rho^0$$

$$\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}\cdot \frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}=\dot \varphi\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}$$

$$\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\frac{\pmb \rho^0(\varphi+\Delta\varphi)-\pmb \rho^0(\varphi)}{\Delta \varphi}=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb \rho^0}{\Delta \varphi}$$

$$\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\Big|\frac{\Delta \pmb \rho^0}{\Delta \varphi}\Big|=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\Bigg|\frac{2\sin\frac{\Delta \varphi}{2}}{\Delta \varphi}\Bigg|=1$$

$$\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\dot\varphi\pmb \varphi^0=\dot{\pmb \varphi}\times \pmb \rho^0$$

$$\pmb \varphi^0=\pmb k\times \pmb \rho^0$$

$$\frac{\mathrm d\pmb \varphi^0}{\mathrm dt}=-\dot{\varphi}\pmb \rho^0=\dot{\pmb \varphi}\times \pmb \varphi^0$$

$$\pmb v=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\rho \pmb \rho^0)=\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dt}\pmb \rho^0+\rho\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\dot \rho\pmb \rho^0+\rho\dot \varphi\pmb \varphi^0$$

$$v=\sqrt{v_\rho^2+v_\varphi^2}=\sqrt{\dot\rho^2+(\rho\dot\varphi)^2}$$

\begin{align} \pmb a&=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\dot\rho\pmb \rho^0+\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0)\\\\ &=\ddot\rho\pmb \rho^0+\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0+\dot\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0+\rho(\ddot\varphi\pmb \varphi^0-\dot\varphi^2\pmb \rho^0)\\\\ &=(\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)\pmb \rho^0+(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)\pmb \varphi^0 \end{align}

$$a=\sqrt{a_\rho^2+a_\varphi^2}=\sqrt{(\ddot \rho-\rho\dot\varphi^2)^2+(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)^2}$$

### 1.3. 牛顿运动定律和力的独立作用原理

#### 1.3.1. 牛顿运动定律

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\pmb v)=\pmb F$$

$$m\pmb a=\pmb F$$

#### 1.3.2. 力的独立作用原理

$$m\pmb a=m\sum\limits_{i=1}^n\pmb a_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i$$

### 1.4. 物体的相互作用描述

#### 1.4.1. 力

1. 凡是真实的力，有受力者必有施力者，反之亦然。
2. 力是物体的相互作用，必然成对出现。
3. 确定一个力，必须确定它的大小、方向和作用点（力的三要素）

#### 1.4.2. 冲量

$$\mathrm d\pmb S=\pmb F\cdot \mathrm dt$$

$$\pmb S=\int_{t_1}^{t_2}\pmb F\cdot \mathrm dt$$
$\pmb S$称为力$\pmb F$在时间间隔$t_2-t_1$内的冲量

#### 1.4.3. 功

$$\delta W=F\cdot \cos\alpha\cdot \mathrm ds=\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r$$

$$\pmb R=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i$$

$$\delta W=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r=\Big(\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i \Big)\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r)=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i$$

$$W_R=\int_{\widehat{M_1M_2}}\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^n\int_{\widehat{M_1M_2}}\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^nW_i$$

$$P=\frac{\delta W}{\mathrm dt}$$

$$P=\frac{\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}=\pmb F\cdot\pmb v$$

### 1.5. 物体的动力学描述

#### 1.5.2. 动量

$$\pmb p=m\pmb v$$

$$\mathrm d(m\pmb v)=\pmb F\cdot\mathrm dt$$

$$\int_{t_0}^t\mathrm d(m\pmb v)=\int_{t_0}^t\pmb F\cdot \mathrm dt$$

$$m\pmb v-m\pmb v_0=\pmb S$$

#### 1.5.3. 动量矩

$$\pmb m_o(m\pmb v)=\pmb r\times m\pmb v$$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb r\times m\pmb v)=\pmb r\times\pmb F$$

#### 1.5.4. 动能

$$m\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}\cdot\mathrm d\pmb r=\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r$$

$$\mathrm d(\frac{1}{2}mv^2)=\pmb F\cdot\mathrm d\pmb r$$

$$\mathrm dT=\delta W$$

$$\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=\int_{r_0}^r\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r$$

### 1.7. 守恒定律

#### 1.7.1. 动量守恒定律

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\pmb v)=0$$

$$m\pmb v=\pmb c$$

#### 1.7.2. 动量矩守恒定律

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb r\times m\pmb v)=\pmb 0$$

$$\pmb r\times m\pmb v=\pmb c$$

#### 1.7.3. 机械能守恒定律

$$T+V=c$$

## 2. 刚体运动学基础

### 2.1. 约束和约束方程

#### 2.1.1. 柔索约束和刚性约束

$$(x_A-x_b)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2\leq l^2$$

$$(x_A-x_b)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2= l^2$$

$$(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2= l^2$$

#### 2.1.2. 线、面接触约束

$$z_E=z_F=r(\mathrm{车轮半径})$$

$$\pmb v_C=\pmb v_D=\pmb 0$$

$$f(\pmb r_1,\pmb r_2,\cdots,\pmb r_n;\pmb v_1,\pmb v_2,\cdots,\pmb v_n;t)\leq 0$$

### 2.2. 自由度和广义坐标

$$\pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_N;t),i=1,2,\cdots,n$$

• 刚体是特殊的质点系，各质点之间都存在着刚性约束。如果刚体没有受到其他物体的约束，称为自由刚体。
• 自由刚体有六个自由度，需要六个广义坐标来描述其位置，并且，刚体上任意三个不共线的点的位置就可以完全确定该刚体的位置。
• 如果刚体还受到其他物体的K个独立的完整约束的限制，则自由度将减少为$6-k$个

### 2.3. 刚体的平动

$$\pmb r_B=\pmb r_A+\overrightarrow{AB}$$

$$\frac{\mathrm d\pmb r_B}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb r_A}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm d {\overrightarrow{AB}}}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb r_A}{\mathrm dt}$$

### 2.4. 刚体的定轴转动

$$\varphi=\varphi(t)$$

$$\omega=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}$$

$$\varepsilon=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\omega}{\mathrm dt^2}$$

$$\pmb \omega=\dot\varphi\pmb k,\ \ \ \ \pmb \varepsilon=\ddot \varphi \pmb k$$

$$s=r\varphi(t)$$

$$v=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=r\dot \varphi(t)=r\omega$$

$$a_r=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=r\dot \omega=r\varepsilon,\ \ \ a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$$

$$a=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=r\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}$$

$$\tan\alpha=\frac{a_r}{a_n}=\frac{\varepsilon}{\omega^2}$$

$$\pmb v=\pmb \omega\times \pmb R$$

$$\pmb a=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb \omega\times \pmb R)=\pmb\varepsilon\times \pmb R+\pmb\omega\times \pmb v$$

### 2.5. 动点的速度合成定理

$$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\overrightarrow{MM''}}{\Delta t}+\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\overrightarrow{M'‘M’}}{\Delta t}$$

$$\pmb v_a=\pmb v_e+\pmb v_r$$

### 2.6. 动点的加速度合成定理

$$\pmb v_a=\pmb v_e+\pmb v_r\\\\ \pmb v'_a=\pmb v_e'+\pmb v_r'$$

$$\Delta \pmb v_a=(\pmb v'_e-\pmb v_e)+(\pmb v'_r-\pmb v_r)$$

$$\Delta\pmb v_r=\pmb v_r'-\pmb v''_r$$

$$\pmb a_r=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{v'_r-v''_r}{\Delta t}$$

$$\pmb v_r''-\pmb v_r=(\pmb \omega\Delta t)\times \pmb v_r$$

$$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\pmb v''_r-\pmb v_r}{\Delta t}=\pmb \omega\times \pmb v_r$$

$$\pmb a_e=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_e}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{v''_e-v_e}{\Delta t}$$

$$\pmb v_e'-\pmb v_e''=\pmb \omega'\times \overrightarrow{OM'}-\pmb \omega'\times \overrightarrow{OM''}=\pmb \omega'\times \overrightarrow{M'‘M’}$$

$$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\pmb v'_e-\pmb v''_e}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\pmb \omega'\times \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\overrightarrow{M'‘M’}}{\Delta t}=\pmb \omega\times \pmb v_r$$

\begin{align} \pmb a_a&=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb v_a}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_e'-\pmb v_e''}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_e''-\pmb v_e}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_r'-\pmb v_r''}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_r''-\pmb v_r}{\Delta t}\\\\ &=\pmb a_e+\pmb a_r+2\pmb \omega\times \pmb v_r \end{align}

$$\pmb a_a=\pmb a_e+\pmb a_r+\pmb a_k$$

## 3. 刚体的平面运动

### 3.1. 刚体平面运动方程

#### 3.1.2. 刚体平面运动的运动方程

$$\begin{matrix} x=x(t),&y=y(t),&\varphi=\varphi(t) \end{matrix}$$

### 3.2. 基点法

#### 3.2.1. 分析平面图形速度分布的基点法

$$\pmb v_M=\pmb v_e+\pmb v_r$$

$$\pmb v_M=\pmb v_A+(\pmb \omega\times \overrightarrow {AM})$$

#### 3.2.1. 分析平面图形加速度分布的基点法

$$\pmb a_B=\pmb a_e+\pmb a_r+\pmb a_k$$

$$\pmb a_B=\pmb a_e+\pmb a_r$$

$$\begin{cases} \pmb a_r^\tau=\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}\\\\ \pmb a_r^n=\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB}) \end{cases}$$

$$\pmb a_B=\pmb a_A+\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB})$$

### 3.3. 速度投影定理

$$(\pmb r_B-\pmb r_A)\cdot (\pmb r_B-\pmb r_A)=l^2=const$$

$$(\pmb v_B-\pmb v_A)(\pmb r_B-\pmb r_A)=0$$

$$(\pmb r_B-\pmb r_A)=\overrightarrow{AB}$$

$$\pmb v_B\cdot \overrightarrow{AB}=\pmb v_A\cdot \overrightarrow {AB}$$

### 3.4. 瞬心

#### 3.4.1. 速度瞬心

1. 已知图形角速度$\pmb \omega$的大小和转动方向，以及图形上任一点$A$的速度$\pmb v_A$，可以在图形上作一条射线$Al$，使$Al$与$\pmb v_A$重合，将$Al$顺着$\pmb \omega$的转动方向以$A$为中心转过$90°$，到达$Al'$。在$Al'$上找一点$C$，使得$AC=v_A/\omega$，则点$C$即为图形的速度瞬心

2. 已知图形上任意两点的速度方向，且他们不平行，过这两点分别作速度矢量的垂线，这两条垂线的交点$C$即为速度瞬心

3. 已知图形上任意两点的速度方向平行，且垂直于这两点的连线，则还必须知道这两点的速度大小。连接这两点速度矢量的终点，该连线或其延长线与这两点的连线或其延长线的交点$C$即为速度瞬心

4. 已知图形上任意两点的速度平行且相等，方向亦相同，则瞬心在无穷远处。说明图形作瞬时平动

5. 刚体在一固定曲面上作无滑滚动，由于刚体上与曲面之接触点$C$相对于曲面速度为零，所以$A$点即为速度瞬心

#### 3.4.2. 加速度瞬心

$$\pmb a_M=\pmb a_A+\pmb a_r$$

$$\pmb a_r=\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB})$$
$\pmb a_r$大小
$$a_r=|\overrightarrow{AM}|\cdot \sqrt{\omega^4+\varepsilon^2},\ \ \ \ \tan\alpha=\frac{\varepsilon}{\omega^2}$$

$$\pmb a_{C^*}=\pmb a_A+\pmb a_r=\pmb 0$$

$$|\overrightarrow{AC^*}|=\frac{\pmb a_A}{\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}}$$

$$\pmb a_A=-\pmb a_r=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AC^*}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AC^*})]$$

\begin{align} \pmb a_M&=\pmb a_A+\pmb a_r\\\\ &=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AC^*}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AC^*})]+[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AM})]\\\\ &=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{C^*M}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{C^*M})] \end{align}

### 3.5. 刚体绕平行轴转动的合成

1. 设$\pmb \omega_e$，$\pmb \omega_r$都沿逆时针方向，如下图所示。

在$OA$连线上总可以找到平面图形上的一点$C$，它相对于$O_{xy}$的速度$\pmb v_t$与他的牵连速度$\pmb v_e$大小相对，方向相反，有
$$\pmb v_C=\pmb v_e+\pmb v_r=\pmb 0$$
所以点$C$即为该瞬时平面图形得速度瞬心。按$\pmb v_e$和$\pmb v_t$的定义
$$v_e=\omega_e\cdot OC,\ \ \ \ v_r=\omega_r\cdot AC$$
由于$v_e=v_t$，故有
$$\omega_e\cdot OC=\omega_r\cdot AC$$
平面图形角速度
$$\omega_a=\frac{v_A}{AC}=\frac{\omega_e(OC+AC)}{AC}$$
联立得到
$$\omega_a=\omega_e+\omega_r$$

说明绕平行轴同向转动时，平面图形的角速度等于牵连速度与相对角速度之和，其转动方向与牵连角速度（或相对角速度）相同

2. 设$\pmb \omega_e$沿逆时针方向，$\pmb \omega_r$反之

这时平面图形的速度瞬心在$OA$延长线上，点$C$的位置取决于$\omega_e/\omega_r$。当$OC>AC$时，$\omega_e<\omega_r$，当$OC<AC$时，$\omega_e>\omega_r$，平面图形加速度：
$$\omega_a=\frac{v_A}{AC}=\frac{\omega_e\cdot OA}{AC}$$

$$\omega_a=|\omega_e-\omega_r|$$

$$\omega_a=|\omega_e-\omega_r|=0$$

## 4. 刚体的定点运动和一般运动

### 4.1. 刚体定点运动、欧拉角

#### 4.1.2. 欧拉角

$$\begin{matrix} \psi=\psi(t)&\theta=\theta(t)&\varphi=\varphi(t) \end{matrix}$$

### 4.3. 角速度和刚体上的速度分布

$$\pmb \omega=\dot \varphi\pmb k$$

$$\pmb \omega^*=\frac{\Delta \pmb \varphi}{\Delta t}$$

$$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\pmb \omega^*=\pmb \omega=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb \varphi}{\Delta t}$$

$$\pmb v=\pmb \omega\times\pmb r$$

### 4.4. 角加速度和刚体上的加速度分布

$$\pmb \varepsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\pmb \varphi}{\mathrm dt^2}$$

\begin{align} \pmb \epsilon&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\omega\pmb \omega_0)\\\\ &=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}\pmb \omega_0+\omega\frac{\mathrm d\pmb \omega_0}{\mathrm dt} \end{align}

\begin{align} \pmb a&=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb \omega\times \pmb r)\\\\ &=\frac{\mathrm d\pmb\omega}{\mathrm dt}\times \pmb r+\pmb \omega\times\frac{\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\\\\ &=\pmb \varepsilon\times \pmb r+\pmb \omega\times \pmb v\\\\ &=\pmb \varepsilon\times \pmb r+\pmb \omega\times (\pmb \omega\times \pmb r) \end{align}

### 4.5. 刚体绕相交轴转动的合成

$$\pmb \omega=\pmb \omega_1+\pmb \omega_2$$

$$\pmb \omega=\pmb \omega_1+\pmb \omega_2+\cdots+\pmb \omega_n=\sum\limits_{i=1}^n\pmb \omega_i$$

$$\pmb \omega=\dot{\pmb \psi}+\dot{\pmb \theta}+\dot{\pmb \varphi}$$

$$\pmb \omega=(\dot \psi\sin\theta\sin\varphi+\dot\theta\cos\varphi)\pmb i+(\dot\psi\sin\theta\sin\varphi-\dot\theta\sin\varphi)\pmb j+(\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi)\pmb k$$

\begin{align} \omega_x&=\dot \psi\sin\theta\sin\varphi+\dot\theta\cos\varphi\\\\ \omega_y&=\dot\psi\sin\theta\sin\varphi-\dot\theta\sin\varphi\\\\ \omega_z&=\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi \end{align}

$$\pmb \omega=\pmb \omega_e+\pmb \omega_r$$

$\pmb \omega$所在的之间即为转动瞬轴，它以$\pmb \omega_e$绕固定轴转动，因此$\pmb \omega$矢量将画出一个正圆锥，矢量端形成圆锥的底面圆

$$\pmb\epsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\pmb \omega_e\times\pmb\omega=\pmb \omega_e\times(\pmb \omega_e\times \pmb \omega_r)=\pmb \omega_e\times \pmb \omega_r$$

### 4.6. 刚体的一般运动

$x_A$，$y_A$和$z_A$来表示基点$A$的坐标，刚体相对于基点平动系作定点运动的三个欧拉角$\psi$，$\theta$和$\varphi$来描述刚体的转动，则方程组

\begin{align} x_A&=x_A(t),\ \ \ \ \psi=\psi(t),\\\\ y_A&=y_A(t),\ \ \ \ \theta=\theta(t),\\\\ z_A&=z_A(t),\ \ \ \ \varphi=\varphi(t), \end{align}

$$\pmb v_M=\pmb v_e+\pmb v_r=\pmb v_A+\pmb \omega\times\overrightarrow{AM}$$

$M$点的牵连加速度等于基点$A$的加速度$\pmb a_A$，相对加速度$\pmb a_r=\pmb \epsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times\pmb v_r$ ，由于动系平动，科氏加速度$\pmb a_k=\pmb 0$ ，故$M$点的加速度为

\begin{align} \pmb a_M&=\pmb a_A+\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times \pmb v_r\\\\ &=\pmb a_A+\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times (\pmb \omega\times \overrightarrow{AM}) \end{align}

## 5. 动力学基本定理

### 5.1. 内力和外力

• 内力是质点系内部各质点之间的相互作用力
• 外力是质点系以外的物体对质点系的作用力。

• 成对出现
• 主矢和主矩皆为零

$$\pmb R^{(i)}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F^{(i)}_{ij}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_{ji}^{(i)}$$

$$\pmb L_O=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(\pmb r_i\times \pmb F_{ij}^{(i)})$$

### 5.3. 分离体与受力分析

1. 确定研究对象，取分离体
2. 受力分析
3. 选取坐标系，建立动力学微分方程组
4. 在给定初始条件或边界条件下求解方程

### 5.4. 动量定理

$$\pmb p=\sum\limits_{i=1}^n\pmb p_i=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb v_i$$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\pmb F_i,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$

$$\pmb F_i=\pmb F_i^{(e)}+\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)},\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$

$$\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_{ij}^{(e)}$$

$$\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum\limits_{i=1}^n(m_i\pmb v_i)=\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt}$$

$$\pmb R^{(e)}=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i^{(e)}$$

$$\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt}=\pmb R^{(e)}$$

1. 质点系动量定理说明质点系动量的变化只决定于外力的主矢，而与其内力无关

2. 若作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量不随时间变化

3. 如果质点系外力系的主矢在某一个方向上投影为零，则质点系的动量在该方向上守恒

4. 质点系动量定理的微分形式：
$$\mathrm d\pmb p=\pmb R^{(e)}\mathrm dt$$
质点系动量定理的积分形式：
$$\pmb p_2-\pmb p_1=\int_{t_1}^{t_2}\pmb R^{(e)}\mathrm dt$$

5. 动量是该质点的质量与其绝对速度之积

### 5.5. 质心运动定理

$$\pmb r_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i}{\sum\limits_{i=1}^nm_i}=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i}{M}$$

$$\begin{matrix} x_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb x_i}{M}& y_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb y_i}{M}& z_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb z_i}{M} \end{matrix}$$

$$M\pmb r_C=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i$$

$$M\pmb v_C=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i\Big)=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb v_i$$

$$M\pmb v_C=\pmb p_C=\pmb p$$

$$\frac{\mathrm d\pmb p_C}{\mathrm dt}=\pmb R^{(e)}$$

### 5.6. 动量矩定理

$$\pmb H_{oi}=\pmb r_i\times m_i\pmb v_i\ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)$$

$$\pmb H_0=\sum\limits_{i=1}^n\pmb H_{oi}=\sum\limits_{i=1}^n\pmb r_i\times m_i\pmb v_i$$

$$\frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}=m_0(\pmb F_i),\ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)$$

\begin{align} \frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}&=m_o(\pmb F_i^{(e)})+m_0\Big(\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)}\Big)\\\\ &=m_0(F_i^{(e)})+\sum\limits_{j=1}^nm_0\Big(\pmb F_{ij}^{(i)}\Big), \ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n) \end{align}

$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^Nm_0(\pmb F_{ij}^{(i)})=0$$

$$\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}=\sum\limits_{i=1}^nm_0(\pmb F_i^{(e)})$$

$$\sum\limits_{i=1}^nm_0(\pmb F_i^{(e)})=\pmb L_0^{(e)}$$

$$\frac{\mathrm d\pmb H_0}{\mathrm dt}=\pmb L_o^{(e)}$$

1. 当质点系不受任何外力作用时，质点系总动量矩为一常矢量，即$\pmb H_0=C$，该常矢量由运动的初始条件决定

2. 质点系对固定轴的动量矩定理：
$$\left{ \begin{matrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot z_iy_i-\dot y_iz_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_x(\pmb F_i^{(e)})\\\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot x_iz_i-\dot z_ix_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_y(\pmb F_i^{(e)})\\\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot y_ix_i-\dot x_iy_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_z(\pmb F_i^{(e)})\\\\ \end{matrix} \right.$$

3. 质点系所受外力对某一固定点的主矩不为零，但主矩在过该点的某一固定轴上的投影为零，则质点系对此轴的动量矩守恒

4. 动量矩定理微分形式
$$\mathrm d\pmb H_0=\pmb L_0^{(e)}\cdot \mathrm dt$$
动量矩定理积分形式
$$\pmb H_{o2}-\pmb H_{o1}=\int_{t_1}^{t_2}\pmb L_0^{(e)}\mathrm dt$$

$$\pmb H_C'=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb r'\times m_i\pmb v_i')$$

$$\pmb H_o=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb r_i\times m_i\pmb v_i)$$

$$\pmb H_0=\pmb r_C\times M\pmb v_c+\pmb H'_C$$

$$\frac{\mathrm d\pmb H_C'}{\mathrm dt}=\pmb L_C^{(e)}$$

#### 5.7. 刚体的平面运动

$$\frac{\mathrm dp_{Cx}}{\mathrm dt}=M\ddot x_C=R_x\\\\ \frac{\mathrm dp_{Cy}}{\mathrm dt}=M\ddot y_C=R_y$$

$$I_C\cdot \varepsilon=L_{Cz}$$
$I_C$是刚体对于通过质心且垂直于平面图形的轴的转动惯量

$I_{Cz}$是外力系对通过质心且垂直于平面图形的轴之矩的代数和

$$M\ddot x_C=\sum\limits_{i=1}^nF_{ix},\ \ \ \ M\ddot y_C=\sum\limits_{i=1}^NF_{iy},\ \ \ I_C\cdot \varepsilon =I_{Cz}$$

\begin{align} x_C&=x_{C0},\ \ \ \ \dot x_C=\dot x_{C0}\\\\ y_C&=y_{C0},\ \ \ \ \dot y_C=\dot y_{C0}\\\\ \varphi_C&=\varphi_{0},\ \ \ \ \ \ \ \dot \varphi=\dot \varphi_{0} \end{align}

$$x_C=x_C(t),\ \ \ \ y_C=y_C(t),\ \ \ \ \varphi=\varphi(t)$$

### 5.8. 力系的功

$$\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot\mathrm d\pmb r_i$$

1. 作用在平动刚体上外力系的功
$$\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_C=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r_C$$
式中$\pmb R$是外力系的主矢，上式表明作用在平动刚体上外力系的总元功，等于外力系的主矢于质心微小位移的标量积

2. 作用在定轴转动刚体上外力系的功

设作用在刚体上任一外力为$\pmb F_i(i=1,2,\cdots,n)$，$\pmb F_i$在受力质点轨迹切线方向的投影为$\pmb F_{i\tau}$，如图所示，现在给刚体一微小转角$\mathrm d\varphi$，则受力质点移动的微小弧长为
$$\mathrm ds_i=r_i\mathrm d\varphi$$
式中，$r_i$为受力质点到固定转轴$z$的垂直距离。故外力系总元功为
\begin{align} \delta W&=\sum\limits_{i=0}^nF_{i\tau}\cdot r_i\mathrm d\varphi\\\\ &=\sum\limits_{i=1}^nL_{zi}\cdot \mathrm d\varphi\\\\ &=L_z\cdot \mathrm d\varphi \end{align}
式中，$L_z$是外力系对固定转轴$z$的力矩，它等于力系中每一个力对同一个轴力矩的代数和。上式说明作用在定轴转动刚体上外力系的总元功，等于外力系对转轴之矩与微小转角之积

3. 作用在作平面运动刚体上外力系的功

设任一力$\pmb F_i$的受力质点获得一维小位移$\mathrm dr_i$，则该微小位移可分解为跟随质心平动系的微小位移$\mathrm dr_c$，和相对质心平动坐标系的微小位移$r_i'\mathrm d\varphi$。其中，$r_i'$是受力质点到质心的矢径，力$\pmb F_i$在这两种微小位移上的元功可分别按1和2的情况计算，即
\begin{align} \delta W&=\sum\limits_{i=0}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_C+\sum\limits_{i=0}^n\pmb F_i\cdot \pmb r_i'\mathrm d\varphi\\\\ &=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r_C+\pmb L_{Cz}\cdot \mathrm d\varphi \end{align}
式中$\pmb L_{Cz}$通过质心$C$且垂直于刚体平面图形的轴。上式说明作用在平面运动刚体上外力系的总元功，等于力系主矢在质心位移上的元功与主矩在刚体转动位移上的元功之和

4. 质点系内力的功

设质点系共有$n$个质点，任意两个质点$m_i$和$m_j$之间的内力为$\pmb F_{ij}$和$\pmb F_{ji}$，两质点的矢径分别为$\pmb r_i$和$\pmb r_j$，如图所示，则有
$$\delta W_{ij}=\pmb F_{ij}\cdot\mathrm d\pmb r_{ij}$$
式中$\mathrm d\pmb r_{ij}$是由质点$m_i$指向质点$m_j$的矢量的微小变化中质点$m_j$相对质点$m_i$距离的微小变化

说明：

• 当两质点间的距离有变化时,一对内力的元功之和不为零
• 当质点系内任意两质点之间距离有变化时，内力的元功之和不为零
• 只有当任意两质点距离不变时，内力的元功之和才为零
• 对于刚体来说，因其任意两质点 都受刚性约束，距离不会改变，故内力系元功之和为零

### 5.9. 动能定理

$$T=\sum\limits_{i=1}^nT_i=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2$$

$$\mathrm dT=\mathrm d\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2 \Big)=\delta W_i=\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_i$$

$$\delta W_i=\delta W_i^{(e)}+\delta W_i^{(i)}$$

$$\delta W_i^{(e)}=\pmb F_i^{(e)}\cdot \mathrm d\pmb r_i\\\\ \delta W_i^{(i)}=\pmb F_i^{(i)}\cdot \mathrm d\pmb r_i$$

$$\mathrm dT=\mathrm d\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2 \Big)=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i^{(e)}+\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i^{(i)}$$

$$\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \mathrm d\pmb r_i=0$$

$$T=\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^nm_iv_i'^2$$

1. 平动刚体的动能
$$T=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\Big)\cdot v_C^2=\frac{1}{2}Mv_C^2$$

2. 定轴转动刚体的动能
\begin{align} T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i(r_i\omega)^2\\\\ &=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_ir_i^2 \Big)\cdot \omega^2=\frac{1}{2}I_z\omega^2 \end{align}

3. 平面运动刚体的动能
\begin{align} T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i(v_C+v_i')^2\\\\ &=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i \Big)v_C^2+\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i \Big)v_i'^2+v_C\cdot \sum\limits_{i=1}^nm_iv_i'\\\\ &=\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{2}I_C\omega^2 \end{align}

### 5.11. 保守系统

$$\mathrm dT=-\sum\limits_{i=1}^n\mathrm dV_i\\\\ T+V=C$$

## 6. 刚体静力学

### 6.1. 静力学基础

$$\pmb v=\pmb v_0(常矢量)$$

$$\pmb v_k=\pmb v_0(常矢量),\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n$$

\begin{align} \pmb v_i&=\pmb v_c+\pmb \omega\times \pmb r_i\equiv \pmb v_c,\ \ \ \ \forall \pmb r_i\\\\ \pmb v_c&=\pmb v_0(常矢量),\ \ \ \ \pmb \omega=\pmb 0 \end{align}

$$\pmb R\mathop=\limits^{def}\sum\limits_{i}\pmb F_i=\pmb 0$$

$$\pmb R_k\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb F_{ki}^E+\sum\limits_{j=1}^N\pmb F_{kj}^I=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n\ \ \ \ (\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{kj}^I=\pmb 0)$$

\begin{align} \pmb R&\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb F_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(M\pmb v_C)=\pmb 0\\\\ \pmb L_c&\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb J_c\pmb \omega)=\pmb 0\\\\ \end{align}\\\\ 合力(主矢\pmb R)为零，合力矩(主矩\pmb L_c)为零
**质点系处于平衡状态的充要条件**
$$\pmb R_k=\pmb 0,\pmb v_k\Big|_{t=0}=\pmb v_0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n$$
**刚体处于平衡状态的充要条件**
$$\pmb R=\pmb 0,\pmb L_c=\pmb 0,\pmb \omega\Big|_{t=0}=\pmb 0$$
**力矩的计算**

\begin{align} \pmb L&=\pmb r\times \pmb F\\\\ &=\left| \begin{matrix} r_1&r_2&r_3\\\\ f_1&f_2&f_3\\\\ \pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} \pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\\\\ r_1&r_2&r_3\\\\ f_1&f_2&f_3 \end{matrix} \right| \\\\ &=(r_2f_3-r_3f_2)\pmb e_1+(r_3f_1-r_1f_3)\pmb e_2+(r_1f_2-r_2f_1)\pmb e_3\\\\ &\mathop=\limits^{\Delta} L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3 \end{align}

### 6.2. 等效力系与力系简化

#### 6.2.1. 等效力系

$$\pmb L_A=\pmb L_B+\overrightarrow{AB}\times \pmb R$$

\begin{align} \pmb L_A&=\sum\limits_{i}m_A(\pmb F_i)=\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i\\\\ &=\sum\limits_i(\overrightarrow {AB}+\pmb r_i')\times \pmb F_i=\overrightarrow{AB}\times \sum\limits_i\pmb F_i+\sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i\\\\ &=\overrightarrow {AB}\times \pmb R+\pmb L_B \end{align}

$$\pmb R=\pmb 0,\pmb L_C=\pmb 0\Leftrightarrow \pmb R=\pmb 0,\pmb L_A=\pmb 0,\forall \pmb A$$

$$\begin{cases} \pmb R_1=\pmb R_2\\\\ \pmb L_{C1}=\pmb L_{C2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \pmb R_1=\pmb R_2\\\\ \pmb L_{A1}=\pmb L_{A2} \end{cases}, \forall A$$

$$\pmb L_{A1}=\pmb L_{C1}+\overrightarrow {AC}\times \pmb R_1\\\\ \pmb L_{A2}=\pmb L_{C2}+\overrightarrow {AC}\times \pmb R_2$$
**力偶**

\begin{align} \pmb L_C&=\overrightarrow{CA}\times \pmb P+\overrightarrow{CB}\times(-\pmb P)=(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})\times \pmb P\\\\ &=\overrightarrow{BA}\times \pmb P\mathop=\limits^{\Delta} \pmb M \end{align}

$$|\pmb M|=|\pmb P|d$$

#### 6.2.1. 力系简化

$$\pmb L_A=\overrightarrow{AB}\times \pmb R\Rightarrow \pmb L_A\perp \pmb R,\pmb L_A\perp \overrightarrow {AB}$$

$$\pmb p=\pmb L_A\perp \pmb R\mathop=\limits^\Delta \pmb R^\perp$$

\begin{align} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AB}_ {\pmb R}+\overrightarrow {AB}_ {\pmb R^{\perp}}\\\\ \pmb L_ A&=\overrightarrow{AB}\times \pmb R=\overrightarrow{AB}_ {\pmb R}\times \pmb R+\overrightarrow{AB}_ {\pmb R^\perp}\times \pmb R=\overrightarrow{AB}_ {\pmb R^\perp}\times \pmb R \end{align}

$$\overrightarrow{AB}=k\pmb p=k\pmb L_A\times \pmb R,\ \ \ \ k待定$$

$$|\pmb L_A|=|k||\pmb L_A|R^2,\ \ \ \ (\pmb R\cdot \pmb R\mathop=\limits^\Delta R^2)$$

$$|k|=\frac{1}{R^2}\Rightarrow k=-\frac{1}{R^2},\ \ \ \ (R\neq 0)$$

$$\overrightarrow {AB}=-\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$$

$$\overrightarrow{AB}\times \pmb R=-\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}\times \pmb R=\pmb L_A$$

$$\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}+\alpha\pmb R,\ \ \ \alpha为任意实数$$

$$\pmb L_A=\pmb L_B+\overrightarrow{AB}\times \pmb R$$

$$\pmb L_B\cdot \pmb R=\pmb L_A\cdot \pmb R$$

\begin{align} \pmb L_A^{//}&=\Big(\pmb L_A\cdot \frac{\pmb R}{R}\Big)\frac{\pmb R}{R}=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\\\\ \pmb L_A^\perp&=\pmb L_A-(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2} \end{align}

$$\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A^\perp}{R^2}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$$

$$\pmb L_B=\pmb L_A^{//}=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\mathop=\limits^\Delta \pmb M$$

\begin{align} \pmb L_B&=\pmb L_A+\overrightarrow{BA}\times \pmb R=\pmb L_A+\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}\times \pmb R\\\\ &=\pmb L_A+(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}-(\pmb R\cdot \pmb R)\frac{\pmb L_A}{R^2}\\\\ &=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2} \end{align}

• $\pmb R=\pmb 0,\pmb L_A=\pmb 0\Rightarrow$平衡力系
• $\pmb R=\pmb 0,\pmb L_A\neq \pmb 0\Rightarrow$力偶$\pmb M=\pmb L_A$
• $\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A\perp\pmb R\Rightarrow$合力$\pmb F_B=\pmb R,\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$
• $\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A\not\perp \pmb R\Rightarrow$力螺旋$\pmb F_B=\pmb R,\pmb L_B=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\mathop=\limits^\Delta\pmb M,\overrightarrow {AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$

• 刚体上平面力系可以简化为合力或合力偶
• 刚体上空间平行力系可以简化为合力或合力偶
• 最一般的情形是力螺旋

$$\pmb F_i=(0,0,F_i)$$

$$\pmb F_B=(0,0,F_B),\ \ \ \ \pmb F_B=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i$$

$$\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i=\pmb r_B\times \pmb F_B\Longrightarrow \sum\limits_i \left|\begin{matrix}x_i&y_i&z_i\\\\0&0&F_i\\\\\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\end{matrix} \right|=\left|\begin{matrix}x_B&y_B&0\\\\0&0&F_B\\\\\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3 \end{matrix} \right|$$

$$x_B=\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_iF_i}{\sum\limits_{i=1}^nF_i},\ \ \ y_B=\frac{\sum\limits_{i=1}^ny_iF_i}{\sum\limits_{i=1}^nF_i}$$

### 6.2. 静力学分析

1. 研究对象：确定分离体
2. 受力分析：主动力、被动力（约束力）、受力图
3. 平衡方程：列出平衡方程并求解
4. 结果讨论：讨论与问题总结

• $N$个平面刚体$\Rightarrow 3N$个独立变量

• $N$个空间刚体$\Rightarrow 6N$个独立变量

**桁架结构与常见约束 **

$$\pmb L=L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3,\ \ \ \ \pmb p=p_1\pmb e_1+p_2\pmb e_2+p_3\pmb e_3$$

$$L_p=\pmb L\cdot \pmb p=L_1p_1+L_2p_2+L_3p_3$$

$$\pmb L=\pmb 0\Longleftrightarrow\begin{bmatrix}L_1\\\\L_2\\\\L_3\end{bmatrix}=\pmb 0\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}p_1&p_2&p_3\\\\q_1&q_2&q_3\\\\r_1&r_2&r_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}L_1\\\\L_2\\\\L_3\end{bmatrix}=\pmb 0\Longleftrightarrow L_p=L_q=L_r=0$$

$$L_{Ap}=L_{Bp}=L_{Cp}=0\Longrightarrow L_{Dp}=0$$

$$L_{D’p}=\pmb L_{D'}\cdot \pmb p=(\pmb L_D+\overrightarrow {D’D}\times \pmb R)\cdot \pmb p=\pmb L_D\cdot \pmb p=L_{Dp}$$

$$L_{Ap}=\pmb L_A\cdot \pmb p,\ \ \ \ \pmb L_{Bp}=\pmb L_B\cdot \pmb p=(\pmb L_A+\overrightarrow{BA}\times \pmb R)\cdot \pmb p\\\\ L_{Cp}=\pmb L_C\cdot\pmb p=(\pmb L_A+\overrightarrow{CA}\times \pmb R)\cdot \pmb p$$

\begin{align} L_{Dp}&=(\pmb L_A+\overrightarrow{DA}\times \pmb R)\cdot \pmb p=(\pmb L_A+\lambda\overrightarrow{BA}\times \pmb R+\mu\overrightarrow{CA}\times \pmb R)\cdot \pmb p\\\\ &=(1-\lambda-\mu)L_{Ap}+\lambda L_{Bp}+\mu L_{Cp}=0 \end{align}

$$|\pmb F|\leq F_{\max}=fN,\ \ \ \ |\pmb M|\leq M_{\max}=\delta N$$

$$\pmb F+\pmb N\mathop=\limits^\Delta \pmb S\\\\ \frac{F_\max}{N}=f\mathop=\limits^\Delta \tan\varphi,\ \ \ \ \varphi=\arctan f$$

## 7. 刚体动力学

### 7.1. 矢量力学

#### 7.1.1. 坐标变换

$$\pmb e_j=\sum\limits_{i=1}^3\pmb u_iq_{ij},\ \ \ \ j=1,2,3\\\\ (\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)\begin{bmatrix} q_{11}&q_{12}&q_{13}\\\\ q_{21}&q_{22}&q_{23}\\\\ q_{31}&q_{32}&q_{33} \end{bmatrix}$$

$$\pmb e_i=\sum\limits_k \pmb u_kq_{ki},\ \ \ \ \pmb e_j=\sum\limits_l \pmb u_iq_{lj}$$

$$\delta _{ij}=\pmb e_i\cdot \pmb e_j=\sum\limits_k q_{ki}q_{kj}$$

$$Q^TQ=I=(\delta _{ij})_{3\times 3}, \ \ \ \ Q^{-1}=Q^T$$

$$\pmb u=\pmb eQ^T$$

$$\dot{\pmb e}=\pmb u\dot Q=\pmb eQ^T\dot Q$$

$$0=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(Q^TQ)=\dot Q^TQ+Q^T\dot Q=(Q^T\dot Q)^T+Q^T\dot Q$$

$$Q^T\dot Q\mathop=\limits^\Delta S(\omega)=\begin{bmatrix} 0&-\omega_3&\omega_2\\\\ \omega_3&0&-\omega_1\\\\ -\omega_2&\omega_1&0 \end{bmatrix}$$

$$\pmb p\times \pmb q=S(\pmb p)\pmb q$$

### 7.2. 刚体定点运动

#### 7.2.1. 角速度矢量

$$\pmb r=\begin{bmatrix}\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_1\\\\r_2\\\\r_3\end{bmatrix}\mathop=\limits^\Delta \pmb e\cdot r=\pmb uQr$$

\begin{align} \pmb v&=\dot{\pmb r}=\pmb u\dot Qr=\pmb eQ^T\dot Qr=\begin{bmatrix}\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&-\omega_3&\omega_2\\\\ \omega_3&0&-\omega_1\\\\ -\omega_2&\omega_1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}r_1\\\\r_2\\\\r_3\end{bmatrix}\\\\ &=(\omega_2r_3-\omega_3r_3)\pmb e_1+(\omega_3r_1-\omega_1r_3)\pmb e_2+(\omega_1r_2-\omega_2r_1)\pmb e_3\\\\ &=\left|\begin{matrix}\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\\\\\omega_1&\omega_2&\omega_3\\\\r_1&r_2&r_3 \end{matrix}\right|=\pmb \omega\times \pmb r \end{align}

$$\pmb \omega=\omega_1\pmb e_1+\omega_2\pmb e_2+\omega_3\pmb e_3\mathop=\limits^\Delta \pmb e\omega,\ \ \ \ \omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)^T$$

$$\pmb v=\pmb \omega\times \pmb r=\pmb \omega'\times \pmb r,\ \ \ \ \forall \pmb r$$

\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\pmb p&=\pmb e\begin{bmatrix}\dot p_1\\\\\dot p_2\\\\\dot p_3\end{bmatrix}+\dot{\pmb e}\begin{bmatrix}p_1\\\\p_2\\\\p_3\end{bmatrix}=\pmb e\begin{bmatrix}\dot p_1\\\\\dot p_2\\\\\dot p_3\end{bmatrix}+\pmb eQ^T\dot Q \begin{bmatrix} p_1\\\\ p_2\\\\ p_3\end{bmatrix}\\\\ &\mathop=\limits^\Delta \frac{\tilde{\mathrm d}}{\mathrm dt}\pmb p+\pmb\omega\times\pmb p \end{align}

$$\dot{\pmb e}_i=\pmb \omega\times \pmb e_i,\ \ \ \ i=1,2,3\\\\ \dot{\pmb e}_i\cdot \pmb e_j=(\pmb \omega\times \pmb e_i)\cdot \pmb e_j=\pmb \omega\cdot(\pmb e_i\times \pmb e_j)$$

$$\pmb \omega=(\dot{\pmb e}_2\cdot \pmb e_3)\pmb e_1+(\dot{\pmb e}_3\cdot \pmb e_1)\pmb e_2+(\dot{\pmb e}_1\cdot \pmb e_2)\pmb e_3$$

$$\frac{\mathrm d^A}{\mathrm dt}\pmb p=\frac{\mathrm d^B}{\mathrm dt}\pmb p+\pmb \omega^{B|A}\times \pmb p$$

#### 7.2.2. 刚体定点转动的运动学关系

1. 进动${1,2,3}\Rightarrow {1',2',3'=3}$：坐标架绕$z$轴转动$\psi$
$$Q_1=\begin{bmatrix} \cos\psi&-\sin\psi&0\\\\ \sin\psi&\cos\psi&0\\\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$$

2. 章动${1',2',3'}\Rightarrow {1''=1',2'',3''}$：坐标架绕$x$轴转动$\theta$
$$Q_2=\begin{bmatrix} 1&0&0\\\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta\\\\ 0&\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}$$

3. 自转${1'',2'',3''}\Rightarrow {1''',2''',3'''=3''}$：坐标架绕$z$轴转动$\varphi$
$$Q_3=\begin{bmatrix} \cos\varphi&-\sin\varphi&0\\\\ \sin\varphi&\cos\varphi&0\\\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$$

$$\pmb e=\pmb uQ_1Q_2Q_3\mathop=\limits^\Delta \pmb uQ\\\\ Q=Q_1Q_2Q_3=\begin{bmatrix} \cos \psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\theta\cos\varphi&\sin\psi\sin\theta\\\\ \sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi&-\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\cos\theta\cos\varphi&-\cos\psi\sin\theta\\\\ \sin\theta\sin\varphi&\sin\theta\cos\varphi&\cos\theta \end{bmatrix}$$

$$Q^T\dot Q=\begin{bmatrix} 0&-\omega_3&\omega_2\\\\ \omega_3&0&-\omega_1\\\\ -\omega_2&\omega_1&0 \end{bmatrix}$$

\left{ \begin{align} \omega_1&=\dot\psi\sin\theta\sin\varphi+\dot \theta\cos\varphi\\\\ \omega_2&=\dot\psi \sin\theta\cos\varphi-\dot\theta\sin\varphi\\\\ \omega_3&=\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi \end{align} \right.

#### 7.2.3. 四元数表示

$$q_0=\cos\frac{\theta}{2},\ \ \ q_i=u_i\sin\frac{\theta}{2},\ \ \ i=1,2,3$$

$$Q=(2q_0^2-1)I+2qq^T-2q_0S(q)$$

$$\begin{bmatrix} \dot q_0\\\\\dot q \end{bmatrix}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -q^T\\\\q_0I+S(q) \end{bmatrix}\omega$$

#### 7.2.4. 定点旋转动力学

$$\pmb r_i=\pmb e\begin{bmatrix}\xi_i\\\\\eta_i\\\\\zeta_i \end{bmatrix},\ \ \ r_i^2=\xi_i^2+\eta_i^2+\zeta_i^2$$

\begin{align} \pmb H&=\sum\limits_i\pmb r_i\times(m_i\pmb v_i)\\\\ &=\sum\limits_im_i\pmb r_i\times(\pmb\omega\times \pmb r_i)\\\\ &=\sum\limits_im_i(\pmb r_i\cdot\pmb r_i)\pmb \omega-\sum\limits_im_i(\pmb \omega\cdot \pmb r_i)\pmb r_i\\\\ &=\Big(\sum\limits_im_ir_i^2\Big)\pmb \omega-\sum\limits_im_i(\omega_i\xi_i+\omega_2\eta_i+\omega_3\zeta_i)\pmb r_i \end{align}

\begin{align} \begin{bmatrix} H_1\\\\H_2\\\\H_3 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} \sum\limits_im_i(\eta_i^2+\zeta_i^2)&-\sum\limits_im_i\xi_i\eta_i&-\sum\limits_im_i\xi_i\zeta_i\\\\ -\sum\limits_im_i\eta_i\xi_i&\sum\limits_im_i(\zeta_i^2+\xi_i^2)&-\sum\limits_im_i\eta_i\zeta_i\\\\ -\sum\limits_im_i\zeta_i\xi_i&-\sum\limits_im_i\zeta_i\eta_i&\sum\limits_im_i(\xi_i^2+\eta_i^2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_1\\\\\omega_2\\\\\omega_3 \end{bmatrix}\\\\ &\mathop=\limits^\Delta \begin{bmatrix} J_{11}&-J_{12}&-J_{13}\\\\ -J_{21}&J_{22}&-J_{23}\\\\ -J_{31}&-J_{32}&J_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_1\\\\\omega_2\\\\\omega_3 \end{bmatrix} \mathop=\limits^\Delta J\omega \end{align}

$$\pmb H=\pmb e(H_1,H_2,H_3)^T=\pmb eJ\omega,\ \ \ \pmb \omega=\pmb e\omega=\pmb e(\omega_1,\omega_2,\omega_3)^T$$

$$\pmb H=\pmb e’J'\omega'=\pmb eJ\omega,\ \ \ \ \pmb \omega=\pmb e'\omega'=\pmb e\omega$$

$$\pmb e'\omega'=\pmb eP\omega'=\pmb e\omega\Rightarrow \omega'=P^T\omega\\\\ \pmb e’J'\omega'=\pmb ePJ'\omega'=\pmb ePJ’P^T\omega=\pmb eJ\omega\Rightarrow J'=P^TJP$$

$$P^TJP=\begin{bmatrix} J_1&0&0\\\\ 0&J_2&0\\\\ 0&0&J_3 \end{bmatrix}= \mathrm {diag}{J_1,J_2,J_3}$$

$$\pmb H=J_1\omega_1\pmb e_1+J_2\omega_2\pmb e_2+J_3\omega_3\pmb e_3$$

$$\pmb e_1'=\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$$

$$P=\begin{bmatrix} \cos\alpha&\odot&\odot\\\\ \cos\beta&\odot&\odot\\\\ \cos\gamma&\odot&\odot \end{bmatrix}$$

\begin{align} J_{OA}&=J_{11}'=\sum\limits_{i,j}(P^T)_{1i}(J)_{ij}(P)_{j1}=\begin{bmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\end{bmatrix}J\begin{bmatrix}\cos\alpha\\\\\cos\beta\\\\\cos\gamma\end{bmatrix}\\\\ &=J_{11}\cos^2\alpha+J_{22}\cos^2\beta+J_{33}\cos^2\gamma-2J_{12}\cos\alpha\cos\beta-2J_{23}\cos\beta\cos\gamma-2J_{31}\cos\gamma\cos\alpha \end{align}

$$J_{11}x^2+J_{22}y^2+J_{33}z^2-2J_{12}xy-2J_{23}yz-2J_{31}zx=1$$

#### 7.2.5. 刚体定点转动的动能

\begin{align} T&=\frac{1}{2}\sum\limits_im_iv_i^2=\frac{1}{2}\sum\limits_im_i(\pmb \omega\times \pmb r_i)\cdot \pmb v_i\\\\ &=\frac{1}{2}\sum\limits_i m_i\pmb \omega\cdot (\pmb r_i\times \pmb v_i)=\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \sum\limits_i\pmb r_i\times (m_i\pmb v_i)\\\\ &=\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \pmb H=\frac{1}{2}\omega^TJ\omega \end{align}

$$T=\frac{1}{2}J_1\omega_1^2+\frac{1}{2}J_2\omega_2^2+\frac{1}{2}J_3\omega_3^2$$

#### 7.2.6. 刚体定点运动的动力学方程

$$\pmb L=\frac{\mathrm d\pmb H}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb H$$

$$\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H}{\mathrm dt}=\pmb e_1\dot H_1+\pmb e_2\dot H_2+\pmb e_3\dot H_3=\pmb e(\dot H_1,\dot H_2,\dot H_3)^T=\pmb e\dot H$$

$$\pmb \omega\times \pmb H=\pmb eS(\omega)H=\pmb eS(\omega)J\omega$$

$$\dot H+S(\omega)H=L$$

$$J\dot\omega+S(\omega)J\omega=L$$

$$\left{ \begin{matrix} \dot H_1+\omega_2H_3-\omega_3H_2=L_1\\\\ \dot H_2+\omega_3H_1-\omega_1H_3=L_2\\\\ \dot H_3+\omega_1H_2-\omega_2H_1=L_3 \end{matrix} \right.$$

$$\left{ \begin{matrix} J_1\dot\omega_1+(J_3-J_2)\omega_2\omega_3=L_1\\\\ J_2\dot\omega_2+(J_1-J_3)\omega_3\omega_1=L_2\\\\ J_3\dot\omega_3+(J_2-J_1)\omega_1\omega_2=L_3 \end{matrix} \right.$$

#### 7.2.7. 刚体定点运动的动能定理

$$\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\omega^TJ\omega)=\frac{1}{2}(\dot\omega^TJ\omega+\omega^TJ\dot\omega)=\omega^TJ\dot\omega$$

$$\pmb \omega\cdot \pmb L=\omega^TL=\omega^T(J\dot\omega+S(\omega)J\omega)=\omega^TJ\dot\omega$$

$$\pmb \omega\cdot\pmb L=\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}$$

#### 7.2.8. Euler动力学方程的首次积分

$$\begin{matrix} J_1\dot\omega_1+(J_3-J_2)\omega_2\omega_3=0&\times \omega_1&\times J_1\omega_1\\\\ J_2\dot\omega_2+(J_1-J_3)\omega_3\omega_1=0&\times \omega_2&\times J_2\omega_2\\\\ J_3\dot\omega_3+(J_2-J_1)\omega_1\omega_2=0&\times \omega_3&\times J_3\omega_3 \end{matrix}$$

\begin{align} J_1\dot\omega_1\omega_1+J_2\dot\omega_2\omega_2+J_3\dot\omega_3\omega_3&=0\Longrightarrow J_1\omega_1^2+J_2\omega_2^2+J_3\omega_3^2=const\ \ \ \ (机械能守恒)\\\\ J_1^2\dot\omega_1\omega_1+J_2^2\dot\omega_2\omega_2+J_3^2\dot\omega_3\omega_3&=0\Longrightarrow J_1^2\omega_1^2+J_2^2\omega_2^2+J_3^2\omega_3^2=const\ \ \ \ (动量矩大小守恒) \end{align}

### 7.3.刚体一般运动的动力学

$$\pmb e=\pmb uQ,\ \ \ \ \pmb u=\pmb eQ^T\\\\ \dot{\pmb e}=\pmb eQ^T\dot Q=\pmb \omega\times \pmb e$$

\begin{align} \pmb r&=\pmb r_o+\pmb r'\\\\ \pmb v&=\dot{\pmb r}=\dot{\pmb r}_o+\dot{\pmb r}'=\pmb v_o+\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb r'}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times\pmb r'\\\\ &=\pmb v_r+\pmb v_o+\pmb \omega\times \pmb r'=\pmb v_r+\pmb v_e \end{align}

\begin{align} \pmb a&=\dot{\pmb v}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb v_r}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb v_r+\frac{\mathrm d\pmb v_o}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm d\pmb\omega}{\mathrm dt}\times\pmb r'+\pmb \omega\times \frac{\mathrm d\pmb r'}{\mathrm dt}\\\\ &=\pmb a_r+\pmb \omega\times\pmb v_r+\pmb a_o+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb v_r+\pmb\omega\times\pmb r')\\\\ &=\pmb a_r+\pmb a_0+\pmb\varepsilon\times \pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')+2\pmb\omega\times \pmb v_r\\\\ &=\pmb a_r+\pmb a_e+\pmb a_c \end{align}

$$\pmb \varepsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb \omega}{\mathrm dt}+\pmb\omega\times \pmb \omega=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb \omega}{\mathrm dt}=\pmb e\dot\omega$$

\begin{align} \pmb v&=\pmb v_o+\pmb \omega\times \pmb r'\mathop=\limits^\Delta \pmb v_e\\\\ \pmb a&=\pmb a_o+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')\mathop=\limits^\Delta \pmb a_e \end{align}

$$\pmb r_i=\pmb r_c+\pmb r_i'$$

\begin{align} &\sum\limits_im_i\pmb r_i=M\pmb r_C,\ \ \ \ \sum\limits_im_i\pmb r_i=\sum\limits_im_i\pmb r_c+\sum\limits_{i}m_i\pmb r_i'=M\pmb r_c+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\\\\ &\sum\limits_i m_i\pmb r_i'=0,\ \ \ \ \sum\limits_im_i\pmb v_i=\sum\limits_im_i\dot{\pmb r_i}=M\dot{\pmb r}_c=M\pmb v_c \end{align}

$$\pmb R=\sum\limits_im_i\ddot{\pmb r}_i=M\ddot{\pmb r}_c=M\pmb a_c$$

$$\pmb L_A=\frac{\mathrm d\pmb H_A}{\mathrm dt},\ \ \ \ \pmb L_A=\pmb L_c+\pmb r_c\times \pmb R$$

\begin{align} \pmb H_A&=\sum\limits_i\pmb r_i\times (m_i\pmb v_i)\\\\ &=\sum\limits_i\pmb r_c\times(m_i\pmb v_i)+\sum\limits_i\pmb r'_i\times (m_i(\pmb v_c+\pmb\omega\times\pmb r_i'))\\\\ &=\pmb r_c\times(M\pmb v_c)+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\times \pmb v_c+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\times(\pmb\omega\times \pmb r_i')\\\\ &=\pmb r_c\times (M\pmb v_c)+\pmb H_c\\\\ \frac{\mathrm d\pmb H_A}{\mathrm dt}&=\dot{\pmb r}_c\times (M\pmb v_c)+\pmb r_c\times (M\dot{\pmb v_c})+\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}\\\\ &=\pmb r_c\times (M\pmb a_c)+\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt} \end{align}

$$\pmb L_c=\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H_c}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb H_c$$

$$\dot H_c+S(\omega)H_c=L_c$$

$$J_c\dot\omega+S(\omega)J_c\omega=L_c$$

$$T=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \pmb H_c=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}\omega^TJ_c\omega$$

• 已知力求运动（解动力学微分方程）
• 已知（期望）运动求力（控制问题）

### 7.4. 非惯性系动力学

$$m\pmb a=\pmb F+\pmb N$$

\begin{align} \pmb a&=\pmb a_r+\pmb a_e+\pmb a_c\\\\ &=\pmb a_r+\pmb a_o+\pmb \varepsilon\times \pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')+2\pmb \omega\times\pmb v_r \end{align}

$$m\pmb a_r=\pmb F+\pmb N+\pmb S_e+\pmb S_c$$

$$\pmb a_r=\frac{\tilde{\mathrm d}^2\pmb r'}{\mathrm dt^2}=\begin{bmatrix}\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot x\\\\\ddot y\\\\\ddot z\end{bmatrix}$$

## 8. 达朗伯原理

$$m\pmb a=\pmb F+\pmb N$$

$$\pmb S=-m\pmb a$$

$$\pmb F+\pmb N+\pmb S=\pmb 0$$

$$\pmb F_k+\pmb N_k+\pmb S_k=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n$$

$$\pmb R_F+\pmb R_N+\pmb R_S=\pmb 0\\\\ \pmb L_{FO}+\pmb L_{NO}+\pmb L_{SO}=\pmb 0$$

$$\pmb R_S=-\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt},\ \ \ \pmb L_{SO}=-\frac{\mathrm d\pmb H_O}{\mathrm dt}$$

$$\pmb R_F+\pmb R_N+\pmb R_S=\pmb 0\\\\ \pmb L_{FC}+\pmb L_{NC}+\pmb L_{SC}=\pmb 0$$

$$\pmb R_S=-M\pmb a_c, \ \ \ \pmb L_{SC}=-\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}=-\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H_c}{\mathrm dt}-\pmb \omega\times\pmb H_c$$

$$\pmb R_ S=-M\pmb a_ c=-M(\ddot{x}_ c\ \ \ddot y_ c\ \ 0),\ \ \ \pmb L_ {SC}=-(0\ \ 0\ \ J_ c\varepsilon)^T$$

$$\begin{cases} \pmb R_A+\pmb R_S=\pmb 0\\\\ \overrightarrow{CA}\times\pmb R_A+\pmb L_A+\pmb L_{SC}=\pmb 0 \end{cases}$$

\begin{align} &\overrightarrow{BA}\times\pmb R_A+\overrightarrow{BC}\times\pmb R_S+\pmb L_A+\pmb L_{SC}\\\\ =&(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})\times\pmb R_A+\overrightarrow{BC}\times\pmb R+\pmb L_A+\pmb L_{SC}\\\\ =&\overrightarrow{BC}\times (\pmb R_A+\pmb R_S)+\overrightarrow{CA}\times\pmb R_A+\pmb L_A+\pmb L_{SC}=\pmb 0 \end{align}

## 9. 虚位移原理

### 9.1. 虚位移

$$\pmb r_i=\pmb e\begin{bmatrix}x_i&y_i&z_i\end{bmatrix}^T,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$

\begin{align} f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n)=0&\Longrightarrow 定常、完整、双面\\\\ f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n,t)=0&\Longrightarrow 非定常(显含时间t)\\\\ f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,\dot x_l,\cdots,x_n,y_n,z_n,)=0&\Longrightarrow非完整(含不可积速度约束)\\\\ f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n,t)\leq0(\geq 0)&\Longrightarrow单面(不等式约束) \end{align}

$$x_i=x_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ y_i=y_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ z_i=z_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t)\\\\ \pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$

\begin{align} &f_j(\cdots,x_i,y_i,z_i,\cdots,t)=0\\\\ &f_j(\cdots,x_i+\Delta x_i,y_i+\Delta y_i,z_i+\Delta z_i,\cdots,t+\Delta t)=0 \end{align}

$$\frac{\partial f_j}{\partial t}\mathrm dt+\sum\limits_{i=1}^n\Big(\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i+\frac{\partial f_i}{\partial y_i}\mathrm dy_i+\frac{\partial f_i}{\partial z_i}\mathrm dz_i \Big)=0$$

$$\mathrm dt\Rightarrow 0,\ \ \ \ (\mathrm dx_i,\mathrm dy_i,\mathrm dz_i)\Rightarrow (\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i)\\\\ \sum\limits_{i=1}^n\Big(\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm \delta x_i+\frac{\partial f_i}{\partial y_i}\mathrm \delta y_i+\frac{\partial f_i}{\partial z_i}\mathrm \delta z_i \Big)$$

\begin{align} &(\mathrm dx_i,\mathrm dy_i,\mathrm dz_i)&满足约束条件的位移微分\\\\ &(\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i)&满足约束条件的位移等时变分 \end{align}

，在同一时刻两个“无限小”容许位移之差可称为虚位移，实际上就是位移等时变分

\begin{align} \delta \pmb r_i&=\pmb r_i(\cdots,q_l+\delta q_l,\cdots,t)-\pmb r_i(\cdots,q_l,\cdots,t)\\\\ &=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j+O(|\delta q|^2)=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j \end{align}

### 9.2. 力在虚位移上做的功

$$\delta W=\sum\limits_i\delta W_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i$$

$$\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum\limits_{j=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\delta q_j\mathop=\limits^\Delta \sum\limits_{j=1}^mQ_j\delta q_j$$

$$Q_j=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j},\ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

### 9.3. 约束力做功的问题

#### 9.3.1. 纯滚动(只滚不滑)

$$\begin{cases} x_C=R\varphi-R\sin\varphi\\\\ y_C=R-R\cos\varphi \end{cases}$$

$$\begin{cases} \delta x_C|_ {\varphi=0}=(1-\cos\varphi)R\delta \varphi|_ {\varphi=0}=0\\\\ \delta y_C|_ {\varphi=0}=\sin\varphi R\delta \varphi|_ {\varphi=0}=0 \end{cases}$$

$$x_O=R\varphi,\ \ v_O=R\omega$$

#### 9.3.2. 理想约束

$$\sum\limits_i\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0$$

### 9.4. 虚位移(虚功)原理

$$\pmb F_i+\pmb N_i=\pmb 0,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$

$$\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i+\pmb N_i)\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i+\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0$$

$$\sum\limits_i\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0$$

$$\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i=0$$

$$\mathrm dT=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i+\pmb N_i)\cdot \mathrm d\pmb r_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_i+\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \mathrm d\pmb r_i>0$$

$$\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i>0$$

$$\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^mQ_j\delta q_j\xrightarrow[\delta q_1,\cdots,\delta q_m相互独立]{\delta W=0}Q_j=0,\ \ j=1,2,\cdots,m$$

#### 9.4.1. 虚位移原理的应用

$$\delta W=F_1\delta y_1+F_2\delta y_2=0$$

$$\delta y_1/l_1+\delta y_2/l_2=0$$

$$F_1l_1=F_2l_2$$

$$\pmb r_i=\pmb r_A+\pmb r_i'\\\\ \delta \pmb r_i=\delta \pmb r_A+\delta \pmb \varphi\times \pmb r_i'$$

$$\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta\pmb r_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot (\delta \pmb r_A+\delta\pmb \varphi\times\pmb r_i')=\Big(\sum\limits_i\pmb F_i \Big)\cdot\delta \pmb r_A+\Big(\sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i \Big)\cdot \delta \pmb \varphi=0$$

$$\sum\limits_i\pmb F_i=\pmb 0,\ \ \sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i=\pmb 0$$

### 9.5. 势能原理

$$\pmb F=-\nabla U=-\Big(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z} \Big)$$

\begin{align} \delta W&=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_i(F_{ix}\delta x_i+F_{iy}\delta y_i+F_{iz}\delta z_i)\\\\ &=-\sum\limits_i\Big(\frac{\partial U}{\partial x_i}\delta x_i+\frac{\partial U}{\partial y_i}\delta y_i+\frac{\partial U}{\partial z_i}\delta z_i \Big)=-\delta U \end{align}
**势能原理：** 具有定常、理想约束的质点系在有势力场中保持静止的充要条件是势能函数的一阶变分为零（势能函数取驻值），即$\delta U=0$

$$U=U(q_1,q_2,\cdots,q_m)$$

$$\delta U=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial U}{\partial q_j}\delta q_j=0\Longrightarrow \frac{\partial U}{\partial q_j}=0\Big(Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}\Big),j=1,2,\cdots,m$$

$$\delta W=0\Longleftrightarrow \delta U=0\Longleftrightarrow \frac{\partial U}{\partial q_j}=0,\ \ j=1,2,\cdots,m$$

$$\delta U=0,\ \ \delta^2U>0$$

## 10. 拉格朗日/哈密顿力学

#### 10.1. 动力学普遍方程

$$\pmb F_k+\pmb N_k+\pmb S_k=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n$$

$$\delta W=\sum\limits_i(\pmb F_i+\pmb N_i+\pmb S_i)\cdot\delta \pmb r_i\\\\ \xrightarrow[]{\sum\limits_i\pmb N_i\cdot\delta \pmb r_i=0}\sum\limits_i(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot\delta \pmb r_i=0$$

$$\pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$

$$\delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$

$$\sum\limits_i(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i=0$$

$$\sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot \delta \pmb r_i$$

$$\pmb v_i=\dot{\pmb r}_i=\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}+\sum\limits_j\frac{\partial\pmb r_i}{\partial q_j}\dot q_j$$

$$\frac{\partial \pmb v_i}{\partial \dot q_j}=\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}$$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j} \Big)=\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial t\partial q_j}+\sum\limits_k\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial q_k\partial q_j}\dot q_k\\\\ \frac{\partial }{\partial q_j}\Big(\frac{\mathrm d\pmb r_i}{\mathrm dt}\Big)=\frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}=\frac{\partial ^2\pmb r_i}{\partial q_j\partial t}+\sum\limits_k\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial q_j\partial q_k}\dot q_k$$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)=\frac{\partial }{\partial q_j}\Big(\frac{\mathrm d\pmb r_i}{\mathrm dt}\Big)=\frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}$$

\begin{align} \sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot \delta \pmb r_i&=\sum\limits_im_i\dot{\pmb v}_i\cdot\delta \pmb r_i\\\\ &=\sum\limits_i\Big(m_i\dot{\pmb v}_i\cdot \sum\limits_j\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j\Big)=\sum\limits_j\Big(\sum\limits_im_i\dot{\pmb v}_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\delta q_j \end{align}

\begin{align} m_i\dot{\pmb v}_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(m_i\pmb v_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)-m_i\pmb v_i\cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\\\\ &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(m_i\pmb v_i\cdot\frac{\partial \pmb v_i}{\partial \dot q_j}\Big)-m_i\pmb v_i\cdot \Big(\frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}\Big)\\\\ &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial }{\partial \dot q_j}\Big(\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot\pmb v_i\Big)-\frac{\partial }{\partial q_j}\Big(\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot\pmb v_i\Big) \end{align}

$$T=\sum\limits_i\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot \pmb v_i=\sum\limits_i\frac{1}{2}m_iv_i^2$$

$$\sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_j\Big[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial T}{\partial q_j}\Big]\delta q_j$$

$$\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\sum\limits_j\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum\limits_j\Big(\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\delta q_j=\sum\limits_jQ_j\delta q_j$$

$$\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^m\Big[Q_j-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)+\frac{\partial T}{\partial q_j}\Big]\delta q_j=0$$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j,\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

### 10.2. 拉格朗日函数与哈密顿函数

#### 10.2.1. 拉格朗日函数

$$U=U(q_1,q_2,\cdots,q_m,t)$$

$$Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=0,\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

#### 10.2.2. 广义动量

$$p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\mathop=\limits^\Delta L=p_j(q_1,\cdots,q_m,\dot q_1,\cdots,\dot q_m,t)\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

$$\dot q_j=\dot q_j(q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m,t),\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

$$\Big(\frac{\partial ^2L}{\partial \dot q_i\partial \dot q_j}\Big){m\times m}=\Big(\frac{\partial ^2T}{\partial \dot q_i\partial \dot q_j}\Big){m\times m}$$

#### 10.2.3. 哈密顿函数

$$H=\sum\limits_jp_j\dot q_j-L=\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j-L$$

\begin{align} \mathrm dH&=\sum\limits_jp_j\mathrm d\dot q_j+\sum\limits_j\dot q_j\mathrm dp_j-\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial q_j}\mathrm dq_j-\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\mathrm d\dot q_j-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm dt\\\\ &=\sum\limits_j\dot q_j\mathrm dp_j-\sum\limits_j\dot p_j\mathrm dq_j-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm dt \end{align}

$$H=H(q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m,t),\ \ \ \ \mathrm dH=\sum\limits_j\frac{\partial H}{\partial q_j}\mathrm dq_j+\sum\limits_j\frac{\partial H}{\partial p_j}\mathrm dp_j+\frac{\partial H}{\partial t}\mathrm dt$$

$$\begin{cases} \dot q_j=\frac{\partial H}{\partial p_j}\\\\ \dot p_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j} \end{cases}$$

$$Q_j=Q_j'-\frac{\partial U}{\partial q_j},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j', \ \ \ \ j=1,2,\cdots,m$$

$$\begin{cases} \dot q_j=\frac{\partial H}{\partial p_j}\\\\ \dot p_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j}+Q_j' \end{cases}$$

#### 10.2.4. 一般质点系的动能

\begin{align} \pmb r_ i&=\pmb r_ i(q_ 1,q_ 2,\cdots,q_ m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n\\\\ \pmb v_ i&=\dot{\pmb r}_i=\frac{\partial \pmb r_ i}{\partial t}+\sum\limits_ {j=1}^m\frac{\partial \pmb r_ i}{\partial q_ j}\dot q_ j,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n \end{align}

\begin{align} T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot \pmb v_i\\\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}+\sum\limits_{j=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\dot{\pmb q}_j+\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_k}\Big)\dot q_j\dot q_k\\\\ &\mathop=\limits^\Delta T_0+T_1+T_2 \end{align}

$$\Big(\frac{\partial ^2T}{\partial \dot q_i\partial \dot q_j}\Big)_{m\times m}$$

$$\sum\limits_j\frac{\partial T_1}{\partial \dot q_j}\dot q_j=T_1,\ \ \ \ \sum\limits_j\frac{\partial T_2}{\partial \dot q_j}\dot q_j=2T_2\\\\ \sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j=\sum\limits_j\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\dot q_j=T_1+2T_2$$

$$H=\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j-L=T_1+2T_2-(T-U)=T_2-T_0+U$$

#### 10.2.5. 保守系统的首次积分

$$\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\Big)=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}=\mathrm {const}$$

$$\frac{\partial H}{\partial q_k}=0\Rightarrow \dot p_k=0\Rightarrow p_k=\mathrm {const}$$

\begin{align} \frac{\mathrm d H}{\mathrm dt}&=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum\limits_j\Big(\frac{\partial H}{\partial q_j}\dot q_j+\frac{\partial H}{\partial p_j}\dot p_j\Big)\\\\ &=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum\limits_j\Big(\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}+\frac{\partial H}{\partial p_j}\Big(-\frac{\partial H}{\partial q_j}\Big)\Big)=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \end{align}

$$\frac{\partial H}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=0\Rightarrow H=\mathrm {const}$$

• 若哈密顿函数$H$不显含某个广义坐标$q_k$，则相应的广义动量$p_k$守恒
• 若哈密顿函数$H$不显含时间$t$，则广义能量$H$守恒

Wenbo Chen
CG Student