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理论力学学习要点

 ·  ☕ 62 分钟

1. 物体机械运动的基本规律

1.1. 物体运动的描述

1.1.1. 描述运动的两种方法

拉格朗日方法

拉格朗日方法是一种随体方法.观察者在确定研究对象后,自始至终跟随这一对象来描述其空间位形的变化。它通过对物体中各个质点运动状态的研究,达到对物体整体运动的了解

欧拉方法

欧拉方法是连续介质力学中采用的方法.观察者并不随体去考察连续介质中各个质点的运动,而是在固定的空间位置上,考察在不同瞬时经过该空间位置的质点的运动特征 。 它通过各个空间局部位置上的研究达到对整个介质运动的了解

1.1.1. 描述物体运动的特征量

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在一确定坐标系中表示物体位置的固定矢量称为矢径。当动点的位置随时间变化时,其矢径$\pmb r$也是时间$t$的连续的矢量函数,即
$$
\pmb r=\pmb r(t)
$$
上式对于确定的瞬时t给出了动点在空间确定的位置,所以它描述了整个运动过程中动点空间位置的变化规律,称为动点的运动方程。其矢端曲线(即在某一时间间隔内矢径的端点在空间画出的曲线)给出动点在空问走过的路程,即轨迹,所以该式也是动点轨迹的参数方程

设经过时间间隔$\Delta t$之后,动点的位置为点$M'$,相应的矢径为$\pmb r(t+\Delta t)$,则动点的位移可以表示为$\overrightarrow{MM'}$,即
$$
\overrightarrow{MM'}=\Delta \pmb r=\pmb r(t+\Delta t)-\pmb r(t)
$$
动点实际走过的路程为:
$$
\Delta s=\widehat{MM'}
$$
以$\pmb \tau$表示动点轨迹曲线在点$M$的单位切向量,则近似有:
$$
\Delta \pmb r\approx \Delta s\cdot \pmb \tau
$$
定义动点在瞬时$t$的瞬时速度矢量为:
$$
\pmb v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb r}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}
$$
由定义可知,速度$\pmb v$是一矢量,是矢径对时间的一阶导数,易知
$$
\pmb v=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\pmb \tau
$$
速度大小
$$
v=|\pmb v|=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}
$$
为路程对时间的变化率,速度的方向代表了动点在这一瞬时的运动方向

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定义动点在瞬时t的瞬时加速度矢量(简称加速度)为:
$$
\pmb a=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb v}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\pmb r}{\mathrm dt^2}
$$
速度可表示为:$\pmb v=v\pmb \tau$

由于在曲线运动中速度方向也不断改变,对上式求导得:
$$
\pmb a=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau+v\frac{\mathrm d\pmb \tau}{\mathrm dt}
$$
第一项表示仅仅是速度大小的变化对加速度的贡献,第二项则表示仅仅是速度方向的变化对加速度的贡献,它可以写成
$$
v\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm dt}=v\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm ds}\cdot\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=v^2\frac{\mathrm d\pmb \tau}{\mathrm ds}
$$
如果用$\pmb n$表示主法线上指向轨迹内凹方向的单位矢量,则可写出
$$
\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm ds}=\frac{1}{\rho}\pmb n
$$
最后可得加速度表达式:
$$
\pmb a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau+\frac{v^2}{\rho}\pmb n
$$

$$
\pmb a_\tau=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau=\frac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}\pmb \tau,\ \ \ \ \pmb a_n=\frac{v^2}{\rho}\pmb n
$$
$\pmb a_\tau$沿动点轨迹的切线方向,其大小等于速度大小对时间的变化率,称为**切向加速度**

$\pmb a_n$沿动点轨迹的主法线,指向曲率中心,其大小代表速度矢量方向改变的快慢程度,称为法向加速度

加速度的大小:
$$
|\pmb a|=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=\sqrt{\Big(\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\Big)^2+\Big(\frac{v^2}{\rho}\Big)^2}
$$
直角坐标中的运动描述

对于直角坐标系$Oxyz$,动点的矢径可以写成
$$
\pmb r=x\pmb i+y\pmb j+z\pmb k
$$
其中$\pmb i$,$\pmb j$和$\pmb k$分别为$x$,$y$,$z$轴上的单位矢量,由定义有
$$
\begin{cases}
\pmb v=\dot x\pmb i+\dot y\pmb j+\dot z\pmb k\\\\
\pmb a=\ddot x\pmb i+\ddot y\pmb j+\ddot z\pmb k
\end{cases}
$$
速度分量:
$$
\begin{matrix}
v_x=\dot x&v_y=\dot y&v_z=\dot z
\end{matrix}
$$
速度大小:
$$
v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}
$$
加速度分量:
$$
\begin{matrix}
a_x=\ddot x&a_y=\ddot y&a_z=\ddot z
\end{matrix}
$$
加速度大小:
$$
a=\sqrt{\ddot x^2+\ddot y^2+\ddot z^2}
$$
切向加速度:
$$
a_\tau=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\dot x\ddot x+\dot y\ddot y+\dot z\ddot z}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}}
$$
法向加速度:
$$
a_n\frac{v^2}{\rho}=\frac{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}{\rho}
$$
**极坐标下的运动描述**

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在极坐标中,动点的位置由独立变量极径$\rho$和极角$\varphi$表示,动点的运动方程为
$$
\begin{matrix}
\rho=\rho(t)&\varphi=\varphi(t)
\end{matrix}
$$
以$\rho^0$表示径向单位矢量,于是矢径$\pmb r$可写成
$$
\pmb r=\rho\pmb \rho^0
$$
将$\pmb \rho^0$顺着$\varphi$角增加的方向逆时针转过$90^\circ$,得到横向单位矢量$\pmb \varphi^0$,$\pmb \rho^0$和$\pmb \varphi^0$组成一个正交的动标架,分析它们的变化规律:
$$
\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}\cdot \frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}=\dot \varphi\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}
$$
其中,
$$
\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\frac{\pmb \rho^0(\varphi+\Delta\varphi)-\pmb \rho^0(\varphi)}{\Delta \varphi}=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb \rho^0}{\Delta \varphi}
$$
从图中可以看出,当$\Delta \varphi\rightarrow 0$时,$\Delta \pmb \rho^0$的极限方向垂直于$\pmb \rho^0$,在图示情况下于$\pmb \varphi^0$的方向一致,其大小为
$$
\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\Big|\frac{\Delta \pmb \rho^0}{\Delta \varphi}\Big|=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\Bigg|\frac{2\sin\frac{\Delta \varphi}{2}}{\Delta \varphi}\Bigg|=1
$$
最后得到:
$$
\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\dot\varphi\pmb \varphi^0=\dot{\pmb \varphi}\times \pmb \rho^0
$$
设$\pmb k$为曲线所在平面的单位法向量,则
$$
\pmb \varphi^0=\pmb k\times \pmb \rho^0
$$
所以
$$
\frac{\mathrm d\pmb \varphi^0}{\mathrm dt}=-\dot{\varphi}\pmb \rho^0=\dot{\pmb \varphi}\times \pmb \varphi^0
$$
因此,极坐标下速度的表达式:
$$
\pmb v=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\rho \pmb \rho^0)=\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dt}\pmb \rho^0+\rho\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\dot \rho\pmb \rho^0+\rho\dot \varphi\pmb \varphi^0
$$
记径向速度$v_\rho=\dot \rho$,横向速度$v_\varphi=\rho\dot\varphi$,速度大小为:
$$
v=\sqrt{v_\rho^2+v_\varphi^2}=\sqrt{\dot\rho^2+(\rho\dot\varphi)^2}
$$
加速度:
$$
\begin{align}
\pmb a&=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\dot\rho\pmb \rho^0+\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0)\\\\
&=\ddot\rho\pmb \rho^0+\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0+\dot\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0+\rho(\ddot\varphi\pmb \varphi^0-\dot\varphi^2\pmb \rho^0)\\\\
&=(\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)\pmb \rho^0+(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)\pmb \varphi^0
\end{align}
$$
记径向加速度$a_\rho=\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2$,横向加速度$a_\varphi=\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\ddot\varphi$

极坐标下加速度大小为:
$$
a=\sqrt{a_\rho^2+a_\varphi^2}=\sqrt{(\ddot \rho-\rho\dot\varphi^2)^2+(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)^2}
$$

1.2. 惯性定律和伽利略相对性原理

1.2.1. 惯性定律

惯性定律

物体在不受外力作用时的运动状态必定是匀速直线运动或静止

惯性参考系

一定存在着这样的参考系,相对于它,所有不受外力作用的物体都保持匀速直线运动或静止

1.2.2. 伽利略相对性原理

所有的惯性系都是等价的、平权的,在一个惯性系中所能看到的种种力学现象,在另一惯性系中必定也能无任何差别地看到

1.3. 牛顿运动定律和力的独立作用原理

1.3.1. 牛顿运动定律

物体动量的变化与作用力成正比,并发生在力的作用线。数学表达式如下:
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\pmb v)=\pmb F
$$
特别地,若不考虑质量的变化,则
$$
m\pmb a=\pmb F
$$
牛顿运动定律只适用于惯性系。

1.3.2. 力的独立作用原理

同时施加在某一质点上的各个力彼此是独立无关的,由力的作用所产生的各个加速度也是彼此独认的,只是该质点表现出的最终运动形式(它的加速度)由各个力单独作用于质点时所产生的那些加速度的矢量和来决定。数学表达式如下:
$$
m\pmb a=m\sum\limits_{i=1}^n\pmb a_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i
$$

1.4. 物体的相互作用描述

1.4.1. 力

力的定义

力是物体间的相互作用,是物体机械运动状态发生变化的原因

力的作用效应

力的作用效应可分为外部效应和内部效应两种。外部效应表现为运动状态的改变,内部效应表现为变形和内力的改变

力的性质

  1. 凡是真实的力,有受力者必有施力者,反之亦然。
  2. 力是物体的相互作用,必然成对出现。
  3. 确定一个力,必须确定它的大小、方向和作用点(力的三要素)

1.4.2. 冲量

冲量描述力在作用时间过程中的积累效果,取一微小时间间隔$\mathrm dt$,以$\pmb F\mathrm dt$表示力$F$的元冲量,记作$d\pmb S$,即
$$
\mathrm d\pmb S=\pmb F\cdot \mathrm dt
$$
在有限的时间间隔$(t_2-t_1)$内,变力$F$对时间的积累效果为
$$
\pmb S=\int_{t_1}^{t_2}\pmb F\cdot \mathrm dt
$$
$\pmb S$称为力$\pmb F$在时间间隔$t_2-t_1$内的冲量

1.4.3. 功

功描述力对物体作用沿移动距离的积累效果,可用力$F$与受力质点经过的弧元$\mathrm ds$的乘积来表示,称为力$F$在弧元$\mathrm ds$上的元功,记作占$δW$,即
$$
\delta W=F\cdot \cos\alpha\cdot \mathrm ds=\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r
$$
功为标量

合力之功定理

设$\pmb R$为作用在同一受力质点上诸力$\pmb F_1,\pmb F_2,\cdots,\pmb F_n$的合力,即
$$
\pmb R=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i
$$
则合力$\pmb R$在受力质点的无限小位移$\mathrm d\pmb r$上的元功为
$$
\delta W=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r=\Big(\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i \Big)\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r)=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i
$$
上式说明合力$\pmb R$在无限小位移上的元功等于各分力元功之代数和

因此,合力$\pmb R$在有限路程$\widehat{M_1M_2}$的功为
$$
W_R=\int_{\widehat{M_1M_2}}\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^n\int_{\widehat{M_1M_2}}\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^nW_i
$$
上式说明合力在有限路程上的功等于各分力在同一路程上功的代数和

功率

用功率这一物理量来度量做功的速率,即
$$
P=\frac{\delta W}{\mathrm dt}
$$
功率与速度、加速度等物理量一样,是一瞬时概念。一个力在做功过程中,在不同的瞬时可以具有不同的功率。
$$
P=\frac{\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}=\pmb F\cdot\pmb v
$$
力的功率等于该力与受力质点速度的标量积

1.5. 物体的动力学描述

1.5.1. 质量

惯性质量

牛顿运动定律中出现的质量,是一个反映物体反抗外加的作用力,保持其原来运动状态的物理量

引力质量

万有引力定律中出现的质量,则是一个反映物体之间互相吸引作用的物理量

可以证明,惯性质量和引力质量是相等的

1.5.2. 动量

动量是一个表征物体传递机械运动能力的物理量,定义物体的质量与速度之积为该物体的动量,即:
$$
\pmb p=m\pmb v
$$
动量$\pmb p$是一矢量,它的方向始终与物体速度方向一致

动量定理

微分形式的动量定理:
$$
\mathrm d(m\pmb v)=\pmb F\cdot\mathrm dt
$$
上式表明物体动量的增量等于作用在物体上力的元冲量

积分形式的动量定理:
$$
\int_{t_0}^t\mathrm d(m\pmb v)=\int_{t_0}^t\pmb F\cdot \mathrm dt
$$
得:
$$
m\pmb v-m\pmb v_0=\pmb S
$$
说明,在时间间隔$(t-t_0)$内,物体动量的变化等于作用在物体上的力在同一时间间隔内的冲量

1.5.3. 动量矩

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动量矩是表征转动物体传递机械运动能力的物理量。物体对于O点的动量矩定义为:
$$
\pmb m_o(m\pmb v)=\pmb r\times m\pmb v
$$
动量矩定理
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb r\times m\pmb v)=\pmb r\times\pmb F
$$
表明物体对于某点$O$的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对同一点之矩

1.5.4. 动能

通过牛顿运动定律,可以把动能和功联系起来:
$$
m\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}\cdot\mathrm d\pmb r=\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r
$$
动能定理的微分形式:
$$
\mathrm d(\frac{1}{2}mv^2)=\pmb F\cdot\mathrm d\pmb r
$$
令$T=\frac{1}{2}mv^2$ ,表示动能
$$
\mathrm dT=\delta W
$$
说明了平动物体动能的微分等于作用在物体上的元功

动能定理的积分形式:
$$
\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=\int_{r_0}^r\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r
$$
说明物体在一般路程上动能的变化,等于作用在该物体上的力在同一段路程上所做的功

1.6. 作用与反作用定律

力是成对出现的,通常我们称这一对力中的一个为作用力,另一个为反作用力。牛顿第三定律指出任何两物体彼此之间的相互作用永远相等,且各自指向对方。

1.7. 守恒定律

1.7.1. 动量守恒定律

若合外力$\pmb F=\pmb 0$,则
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\pmb v)=0
$$
即:
$$
m\pmb v=\pmb c
$$
表明在不受任何力作用的情况下,物体的动量是一常矢量,由运动的初始条件决定,即物体在运动过程中始终保持其初始时所具有的动量

1.7.2. 动量矩守恒定律

若$\pmb r\times \pmb F=\pmb 0$,则
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb r\times m\pmb v)=\pmb 0
$$
即:
$$
\pmb r\times m\pmb v=\pmb c
$$
表明作用在物体上所有的力对空间某点的力矩为零时,物体对该点的动量矩是一常矢量,由运动的初始条件决定,即物体在运动过程中始终保持其初始时所具有的动量矩

1.7.3. 机械能守恒定律

保守力

仅是物体位置的函数,而且它们的功只与受力物体在运动过程中初、终位置有关,而与受力物体经过的具体路径无关

机械能守恒

物体在保守力的作用下,其动能和势能之和,即机械能,是守恒的。若记物体的势能为$V$,动能为$T$,则
$$
T+V=c
$$
若物体在保守力作用下,其动能和势能可以相互转换,但总值不变,由运动的初始条件决定

1.8. 量纲与单位制

物理量之间并不是互相独立毫无联系的。只要从所有可能的物理量中选择少数几个,对它们的单位作独立规定,再利用其他物理量与这几个物理量之间的关系便可导出所有物理量的单位。这几个被选出来作独立规定单位的物理量叫做基本量,而其他的物理量称为导出量或派生量,不同的基本量的选取就构成了不同的单位制

我们给度量物理量的单位的种类起了个名称,叫做量纲。一般地,我们用符号$[L]$,$[M]$,$[T]$分别表示长度、质量和时间三种量纲。导出的量纲可以用基本量的某一组合来表示

2. 刚体运动学基础

2.1. 约束和约束方程

由运动学分析就能确定的对物体各部分相对位移和相对速度的限制称为约束,其中对物体相对位移的限制又称为几何约束,对物体相对速度的限制又称为运动约束。由约束规定的方程称为约束方程

2.1.1. 柔索约束和刚性约束

柔索约束是钢索、链条和皮带等物体的抽象化模型,柔索约束的特征是不能伸长。如$A$,$B$之间的约束,约束方程是不等式:
$$
(x_A-x_b)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2\leq l^2
$$
如将A,B间改用刚性杆连接,则$A$,$B$间约束为刚性约束。刚性约束的特征是两点间距离不变,约束方程是等式:
$$
(x_A-x_b)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2= l^2
$$
当$AB$是刚性杆时,如果点$A$能在以点$B$为球心,以$AB$为半径的球面上运动,则称点$B$对杆$AB$的约束为球铰链;如果点$A$只能在某个平面内沿圆周运动,则点$B$对杆$AB$的约束称为柱铰链

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如果$AB$的运动被限制在$Oyz$平面内,则约束方程为:
$$
(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2= l^2
$$

2.1.2. 线、面接触约束

物体间的接触约束可以是点约束,线约束和面约束。

轨道对轮心E和F的约束方程为:
$$
z_E=z_F=r(\mathrm{车轮半径})
$$
轨道对车轮的接触点$C,D$的约束方程为:
$$
\pmb v_C=\pmb v_D=\pmb 0
$$
对于由$n$个质点组成的质点系,约束方程的一般形式为:
$$
f(\pmb r_1,\pmb r_2,\cdots,\pmb r_n;\pmb v_1,\pmb v_2,\cdots,\pmb v_n;t)\leq 0
$$

2.1.3. 约束的分类

约束方程中显含时间t的约束称为非稳定约束,不显含时间t的约束称为稳定约束

带不等号的方程表示的约束称为单面约束,带等号的方程表示的约束称为双面约束

将几何约束和可以积分成方程$f(\pmb r_1,\pmb r_2,\cdots,\pmb r_n;t)\leq 0$形式的运动约束称为完整约束,不能积分成前述方程形式的运动约束称为非完整约束

2.2. 自由度和广义坐标

在完整约束的条件下,确定质点系位置的独立坐标的个数$N$称为该质点系的自由度

凡是足以确定质点系位置的N个独立的参数$q_1,q_2,\cdots,q_N$都称为质点系的广义坐标

质点系中各质点的矢径$\pmb r_i$可以用广义坐标$q_1,q_2,\cdots,q_N$表示为
$$
\pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_N;t),i=1,2,\cdots,n
$$
刚体的自由度:

  • 刚体是特殊的质点系,各质点之间都存在着刚性约束。如果刚体没有受到其他物体的约束,称为自由刚体。
  • 自由刚体有六个自由度,需要六个广义坐标来描述其位置,并且,刚体上任意三个不共线的点的位置就可以完全确定该刚体的位置。
  • 如果刚体还受到其他物体的K个独立的完整约束的限制,则自由度将减少为$6-k$个

2.3. 刚体的平动

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刚体的平动是刚体运动中最简单的形式,其特征是:在运动中,刚体上任一直线始终平行于其初始位置

在刚体上任取两点A,B,有:
$$
\pmb r_B=\pmb r_A+\overrightarrow{AB}
$$
为求速度,对上式两边对$t$求导,得:
$$
\frac{\mathrm d\pmb r_B}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb r_A}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm d {\overrightarrow{AB}}}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb r_A}{\mathrm dt}
$$
即:$\pmb v_A=\pmb v_B$

再对$t$求导得:$\pmb a_A=\pmb a_B$

刚体的平动问题归结为该刚体上任一点的运动问题

2.4. 刚体的定轴转动

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刚体在运动中,其上有两点固定 ,这种运动形式称为定轴转动。过两固定点的直线称为固定轴。

刚体定轴转动时只有一个自由度,仅需一个广义坐标即可描述其位置

如图,$l$为固定转动轴,过$l$上任一点$O$作$l$的垂平面$𝜋$。在平面$𝜋$上作一直线$ON$,以$ON$相对于$Ox$轴转过的角度$𝜑$为广义坐标,则式
$$
\varphi=\varphi(t)
$$
描写了刚体位置随时间的变化,称为刚体定轴转动的运动方程。

刚体定轴转动的快慢程度可以用角度$𝜑$的变化速率来描述,定义:
$$
\omega=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}
$$
瞬时角速度,简称角速度,定义角速度$\omega$随时间的变化速率为角加速度,记为$𝜀$,即
$$
\varepsilon=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\omega}{\mathrm dt^2}
$$
角速度的量纲是$[T]^{-1}$,单位是弧度/秒$(rad/s)$ ,角加速度得量纲是$[T]^{-2}$,单位是弧度/秒^2^

为了表示转动的方向,按照右手定则将转角记做$\pmb \varphi=\varphi\pmb k$

其中$\pmb k$表示转动轴$Oz$方向的单位矢量,则角速度和角加速度亦可表示成矢量形式
$$
\pmb \omega=\dot\varphi\pmb k,\ \ \ \ \pmb \varepsilon=\ddot \varphi \pmb k
$$
现在给出$𝜋$上各点的速度和加速度分布

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任取一点$M$,设$M$到定点$O$的距离为$r$,采用弧坐标,则点$M$的运动方程为
$$
s=r\varphi(t)
$$
则速度为:
$$
v=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=r\dot \varphi(t)=r\omega
$$
image-20200606141623065

切向加速度$a_r$和法向加速度$a_n$为
$$
a_r=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=r\dot \omega=r\varepsilon,\ \ \
a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r
$$
加速度大小
$$
a=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=r\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}
$$
方向
$$
\tan\alpha=\frac{a_r}{a_n}=\frac{\varepsilon}{\omega^2}
$$
image-20200606141913471

如果用矢量$\pmb \omega$来表示角速度,则点$M$的速度为
$$
\pmb v=\pmb \omega\times \pmb R
$$
其中$\pmb R$为$M$点的矢径

加速度为
$$
\pmb a=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb \omega\times \pmb R)=\pmb\varepsilon\times \pmb R+\pmb\omega\times \pmb v
$$
其中,$\pmb \varepsilon\times R$为切向加速度,$\pmb \omega\times \pmb v=\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \pmb R)$为法向加速度

2.5. 动点的速度合成定理

动点相对于定参考系(简称定系)的运动称为绝对运动;动点相对于动参考系(简称动系)的运动称为相对运动。在所考虑的瞬时,假想将动点“冻结”在动参考系上,动系携带着被“冻结”的动点所作的运动称为牵连运动

动点在定参考系中的轨迹、速度和加速度分别称为绝对轨迹绝对速度绝对加速度。动点在动参考系中的轨迹、速度和加速度分别称为相对轨迹相对速度相对加速度。在所考虑的瞬时,与动点相重合的动参考系上那一点的速度和加速度称为牵连速度牵连加速度

image-20200606142413115

设一刚性曲线段$\widehat{AB}$相对于定坐标系$Oxyz$是运动的,并有一动点$M$沿$\widehat{𝐴𝐵}$作相对运动。在瞬时$t$,曲线段的位置为$\widehat{𝐴𝐵}$,动点在$M$处。经过时间间隔$Δt$后,曲线段运动至点$M’$

动点$M$的绝对位移$\Delta \pmb r=\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MM''}+\overrightarrow{M'‘M’}$

位移$\overrightarrow{MM''}$称为牵连位移,即在所考虑的瞬时,与动点相重合的动参考系上那一点的位移称为动点的牵连位移

上式两边同除$Δ𝑡$并求极限:
$$
\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\overrightarrow{MM''}}{\Delta t}+\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\overrightarrow{M'‘M’}}{\Delta t}
$$
上式左边是动点$M$的绝对速度$\pmb v_a$,右边第一项是牵连速度$\pmb v_e$,第二项是其相对速度$\pmb v_r$

动点$M$的绝对速度等于其牵连速度与相对速度之矢量和。这就是速度合成定理,即:
$$
\pmb v_a=\pmb v_e+\pmb v_r
$$

2.6. 动点的加速度合成定理

image-20200606144010554

设一刚性曲线段$𝐿$相对于定坐标系$Oxyz$是运动的,在瞬时$t$曲线段的位置为$\widehat{AB}$,动点$M$沿曲线$L$作相对运动。在瞬时$t$,$M$的相对速度和牵连速度分别为$\pmb v_r$和$\pmb v_e$.经过时间间隔$Δt$后,曲线段运动到$\widehat{𝐴′𝐵′}$位置,动点$M$运动到$M’$,这时其相对速度和牵连速度分别为$\pmb v_r'$和$\pmb v_e'$

在瞬时$t$和$t+\Delta t$,动点$M$的绝对速度分别是
$$
\pmb v_a=\pmb v_e+\pmb v_r\\\\
\pmb v'_a=\pmb v_e'+\pmb v_r'
$$
因此,动点$M$绝对速度改变量为

$$
\Delta \pmb v_a=(\pmb v'_e-\pmb v_e)+(\pmb v'_r-\pmb v_r)
$$

根据定义,相对运动是动点相对于动参考系的运动,所以在曲线段上看到相对运动中相对速度的改变量为

$$
\Delta\pmb v_r=\pmb v_r'-\pmb v''_r
$$

相对加速度为:

$$
\pmb a_r=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{v'_r-v''_r}{\Delta t}
$$

相对速度改变量

当动参考系$L$作平动时,$\pmb v_r=\pmb v_r'-\pmb v_r''$ ,当动参考系$L$作定轴转动,在瞬时$t$角速度为$\pmb \omega$时,
$$
\pmb v_r''-\pmb v_r=(\pmb \omega\Delta t)\times \pmb v_r
$$
所以
$$
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\pmb v''_r-\pmb v_r}{\Delta t}=\pmb \omega\times \pmb v_r
$$
牵连加速度为:
$$
\pmb a_e=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_e}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{v''_e-v_e}{\Delta t}
$$
当动参考系$L$作平动时,$\pmb v_e=\pmb v_e''$,当动参考系$L$作定轴转动,在瞬时$t+\Delta t$角速度为$\pmb \omega'$时,由定轴转动的速度分布公式得:
$$
\pmb v_e'-\pmb v_e''=\pmb \omega'\times \overrightarrow{OM'}-\pmb \omega'\times \overrightarrow{OM''}=\pmb \omega'\times \overrightarrow{M'‘M’}
$$
所以有
$$
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\pmb v'_e-\pmb v''_e}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\pmb \omega'\times \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\overrightarrow{M'‘M’}}{\Delta t}=\pmb \omega\times \pmb v_r
$$
由上,动点$M$的绝对加速度为
$$
\begin{align}
\pmb a_a&=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb v_a}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_e'-\pmb v_e''}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_e''-\pmb v_e}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_r'-\pmb v_r''}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_r''-\pmb v_r}{\Delta t}\\\\
&=\pmb a_e+\pmb a_r+2\pmb \omega\times \pmb v_r
\end{align}
$$
记$\pmb a_k=2\pmb \omega\times \pmb v_r$,称为科氏加速度,则
$$
\pmb a_a=\pmb a_e+\pmb a_r+\pmb a_k
$$
称为动点的加速度合成定理,即任何瞬时动点的绝对加速度等于该瞬时其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和;科氏加速度等于动参考系角速度和动点相对速度的矢量积的两倍

3. 刚体的平面运动

3.1. 刚体平面运动方程

3.1.1. 平面运动的概念

刚体在运动过程中,其上任何一点$M$与参考系中的某一固定平面$𝜋$的距离保持不变,称该刚体作平面平行运动,简称平面运动。刚体平面运动只有三个自由度。

3.1.2. 刚体平面运动的运动方程

image-20200606173653674

三个广义坐标通常取法如下:平面图形上任意点$A$的两个坐标$x$和$y$,以及过$A$点在平面图形$S_1$内的任一直线$AB$与某固定轴之夹角$𝜑$。刚体平面运动的运动方程为
$$
\begin{matrix}
x=x(t),&y=y(t),&\varphi=\varphi(t)
\end{matrix}
$$
以坐标原点引进一个动坐标系$Ax’y'$,使其$Ax'$轴和$A𝑦'$轴分别与固定坐标系$O_{xyz}$的$O_x$轴和$O_y$轴保持平行。这个动坐标系称为**平动坐标系**,点$A$称为**基点**。于是平面图形$S_1$的运动就可以看作是跟随基点$A$的平动和相对于坐标系$Ax’y'$,定轴转动的合成。

在任何时间间隔内,平面图形相对于平动系的转角$∆𝜑$与基点的选择无关

3.2. 基点法

3.2.1. 分析平面图形速度分布的基点法

image-20200606180532533

引进基点平动系后,刚体平面运动分解为跟随基点的平动和绕基点的转动。由速度合成定理,平面图形上任一点$M$的速度为
$$
\pmb v_M=\pmb v_e+\pmb v_r
$$
其中牵连速度$\pmb c_c$是与$M$点重合的动坐标系上那一点的速度

现在,动坐标系是平动系,因此动系上任意点的速度都等于基点$A$的速度$\pmb v_A$,所以$\pmb v_c=\pmb v_A$。$M$点相对于基点平动系作圆周运动,故$\pmb v_\tau=\pmb \omega\times \overrightarrow{AM}$,故
$$
\pmb v_M=\pmb v_A+(\pmb \omega\times \overrightarrow {AM})
$$
即:平面图形上任一点$M$的速度等于基点$A$给出的牵连速度和绕基点$A$的相对速度$\pmb v_\tau=\pmb \omega\times \overrightarrow{AM}$的矢量和

3.2.1. 分析平面图形加速度分布的基点法

image-20200606192740741

在引进基点平动系之后,平面运动分解为跟随基点的平动与绕基点的转动

由加速度合成定理,平面图形上任一点$B$的绝对加速度为
$$
\pmb a_B=\pmb a_e+\pmb a_r+\pmb a_k
$$
由于动坐标系作平动,$\pmb a_k=\pmb 0$,故
$$
\pmb a_B=\pmb a_e+\pmb a_r
$$
若选平面图形上$A$为基点,则$\pmb a_e=\pmb a_A$。设平面图形绕基点的角速度为$\pmb \omega$,角速度为$\pmb \varepsilon$,则根据定轴转动中加速度分布公式,点$B$的相对加速度可以分为两项:相对切向加速度$\pmb a_r^\tau$相对法相加速度$\pmb a_r^n$

其中,
$$
\begin{cases}
\pmb a_r^\tau=\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}\\\\
\pmb a_r^n=\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB})
\end{cases}
$$

$$
\pmb a_B=\pmb a_A+\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB})
$$

3.3. 速度投影定理

平面图形在运动中,任意两点沿它们连线方向的相对速度必定为零,即两点的速度在两点连线方向的投影必定相同,才能保证两点距离不变,如图所示:

image-20200606180842774

证明如下

image-20200606180947010

设坐标系$O_{xyz}$如图所示。刚体上任意两点$A$和$B$的矢径分量分别为$\pmb r_A$和$\pmb r_B$,则刚性约束条件为
$$
(\pmb r_B-\pmb r_A)\cdot (\pmb r_B-\pmb r_A)=l^2=const
$$
上式对时间$t$求导得
$$
(\pmb v_B-\pmb v_A)(\pmb r_B-\pmb r_A)=0
$$

$$
(\pmb r_B-\pmb r_A)=\overrightarrow{AB}
$$

$$
\pmb v_B\cdot \overrightarrow{AB}=\pmb v_A\cdot \overrightarrow {AB}
$$
即:刚体在运动中任意两点的速度矢量在这两点连线方向的投影相等

3.4. 瞬心

3.4.1. 速度瞬心

在平面图形的运动中,任何瞬时只要转动角速度$\pmb \omega\neq \pmb 0$,平面图形上总存在一点$C$,其速度$\pmb v_c=\pmb 0$ ,称点C为平面图形的瞬时速度中心。简称速度瞬心

求解方法

  1. 已知图形角速度$\pmb \omega$的大小和转动方向,以及图形上任一点$A$的速度$\pmb v_A$,可以在图形上作一条射线$Al$,使$Al$与$\pmb v_A$重合,将$Al$顺着$\pmb \omega$的转动方向以$A$为中心转过$90°$,到达$Al'$。在$Al'$上找一点$C$,使得$AC=v_A/\omega$,则点$C$即为图形的速度瞬心

    image-20200606193440190

  2. 已知图形上任意两点的速度方向,且他们不平行,过这两点分别作速度矢量的垂线,这两条垂线的交点$C$即为速度瞬心

    image-20200606193509417

  3. 已知图形上任意两点的速度方向平行,且垂直于这两点的连线,则还必须知道这两点的速度大小。连接这两点速度矢量的终点,该连线或其延长线与这两点的连线或其延长线的交点$C$即为速度瞬心

    image-20200606193526606

  4. 已知图形上任意两点的速度平行且相等,方向亦相同,则瞬心在无穷远处。说明图形作瞬时平动

    image-20200606193540315

  5. 刚体在一固定曲面上作无滑滚动,由于刚体上与曲面之接触点$C$相对于曲面速度为零,所以$A$点即为速度瞬心

    image-20200606193608342

3.4.2. 加速度瞬心

在平面图形的运动中,任何瞬时只要转动角速度$\pmb \omega$和角加速度$\pmb \varepsilon$不全为零,在平面图形上总存在一点$C^∗$,其加速度$\pmb a_{C^*}=\pmb 0$。平面图形的加速度分布相当于图形以角速度$\pmb \omega$和角加速度$\pmb \epsilon$绕点$C^∗$转动时的加速度分布。称点$C^*$为瞬时加速度中心,简称加速度瞬心

image-20200606200222244

采用基点法后,平面图形上任意一点$M$的加速度由下式给出:
$$
\pmb a_M=\pmb a_A+\pmb a_r
$$
其中
$$
\pmb a_r=\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB})
$$
$\pmb a_r$大小
$$
a_r=|\overrightarrow{AM}|\cdot \sqrt{\omega^4+\varepsilon^2},\ \ \ \ \tan\alpha=\frac{\varepsilon}{\omega^2}
$$
只要每一瞬间图形的角速度和角加速度确定了,$\pmb a_r$的大小和方向就是确定的,如图所示,将$\pmb a_A$所在直线$Al$的转动方向$\pmb \varepsilon$旋过$\alpha$角,到达$Al'$位置。在$Al'$直线上的所有点的相对加速度$\pmb a_r$于基点加速度$\pmb a_A$共线。只要此瞬间$\pmb \varepsilon$与$\pmb \omega$不全为零,总可以在直线$Al'$找到一点$C^*$,使
$$
\pmb a_{C^*}=\pmb a_A+\pmb a_r=\pmb 0
$$
该点在直线$Al'$上$\pmb \varepsilon\times \pmb a_A$所指的一侧,有
$$
|\overrightarrow{AC^*}|=\frac{\pmb a_A}{\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}}
$$
解出
$$
\pmb a_A=-\pmb a_r=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AC^*}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AC^*})]
$$
代入得
$$
\begin{align}
\pmb a_M&=\pmb a_A+\pmb a_r\\\\
&=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AC^*}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AC^*})]+[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AM})]\\\\
&=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{C^*M}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{C^*M})]
\end{align}
$$

3.5. 刚体绕平行轴转动的合成

image-20200606204835106

在曲柄$OA$上建立转动坐标系$O_{xy}$,如图所示。齿轮II的运动可以看作相对于$O_{xy}$的定轴转动及$O_{xy}$绕轴𝑂的转动的合成。设动系转动角速度为$\pmb \omega_e$,称为**牵连角速度**。设齿轮II相对于动系的转动角速度为$\pmb \omega_r$,称为**相对角速度**。图形的角速度又称为绝对角速度,记为$\pmb \omega_a$

  1. 设$\pmb \omega_e$,$\pmb \omega_r$都沿逆时针方向,如下图所示。

    image-20200607092702117

    在$OA$连线上总可以找到平面图形上的一点$C$,它相对于$O_{xy}$的速度$\pmb v_t$与他的牵连速度$\pmb v_e$大小相对,方向相反,有
    $$
    \pmb v_C=\pmb v_e+\pmb v_r=\pmb 0
    $$
    所以点$C$即为该瞬时平面图形得速度瞬心。按$\pmb v_e$和$\pmb v_t$的定义
    $$
    v_e=\omega_e\cdot OC,\ \ \ \ v_r=\omega_r\cdot AC
    $$
    由于$v_e=v_t$,故有
    $$
    \omega_e\cdot OC=\omega_r\cdot AC
    $$
    平面图形角速度
    $$
    \omega_a=\frac{v_A}{AC}=\frac{\omega_e(OC+AC)}{AC}
    $$
    联立得到
    $$
    \omega_a=\omega_e+\omega_r
    $$

    说明绕平行轴同向转动时,平面图形的角速度等于牵连速度与相对角速度之和,其转动方向与牵连角速度(或相对角速度)相同

  2. 设$\pmb \omega_e$沿逆时针方向,$\pmb \omega_r$反之

    image-20200607093504708

    这时平面图形的速度瞬心在$OA$延长线上,点$C$的位置取决于$\omega_e/\omega_r$。当$OC>AC$时,$\omega_e<\omega_r$,当$OC<AC$时,$ \omega_e>\omega_r$,平面图形加速度:
    $$
    \omega_a=\frac{v_A}{AC}=\frac{\omega_e\cdot OA}{AC}
    $$

在上述两种情况下,$OA=|OC-AC|$,所以
$$
\omega_a=|\omega_e-\omega_r|
$$
说明绕平行轴反向转动时,平面图形角速度等于牵连角速度与相对角速度之差。其转向与较大的角速度相同

在绕平行轴反向转动时,若$\omega_e=\omega_r$得
$$
\omega_a=|\omega_e-\omega_r|=0
$$
可见这时平面图形的角速度为零,即刚体作平动。角速度大小相等,转动方向相反的两个转动的组合称为转动偶

4. 刚体的定点运动和一般运动

4.1. 刚体定点运动、欧拉角

4.1.1. 定点运动

刚体在运动过程中有一个点固定不动,称为定点运动

4.1.2. 欧拉角

image-20200607120036126

选取三个转角$\psi$,$\theta$和$\varphi$为广义坐标,来描述这样的刚体定点运动,通常称为欧拉角

以$O$为原点,建立坐标系$Oξηζ$,再取一个固定再刚体上的坐标系$Oxyz$,设$t=0$时两坐标系完全重合。坐标系$Oxyz$绕$Oζ$转过角$ψ$,称为进动角。这时,轴$Ox$上的点$N_0$到达$N_1$位置,$ON_1$称为节线。坐标系$Oxyz$再绕$𝑂𝑁_1$轴转过角$θ$,称为章动角。这时轴$Oz$与$Oζ$不再重合,夹角即为$θ$。最后系$Oxyz$再绕轴$Oz$转过角$φ$,称为自转角

轴$Ox$离开节线$𝑂𝑁_1$,转过角$φ$到达$𝑂𝑁_2$。只要任一瞬时的$ψ$,$θ$和$φ$确定了,则刚体在空间的相对位置即被唯一地确定。因此:
$$
\begin{matrix}
\psi=\psi(t)&\theta=\theta(t)&\varphi=\varphi(t)
\end{matrix}
$$
就是刚体定点运动的运动方程

4.2. 欧拉位移定理和转动瞬轴

具有一个固定点的刚体的任意有限位移,可以绕通过固定点的某轴一次转动来完成,该结论称为欧拉位移定理,而该轴称为转动瞬轴

4.3. 角速度和刚体上的速度分布

在定轴转动情况下,定义角速度矢量沿固定转动轴,方向由右手定则确定:
$$
\pmb \omega=\dot \varphi\pmb k
$$
其中,$\pmb k$为固定轴方向的单位矢量。根据欧拉位移定理同样可定义
$$
\pmb \omega^*=\frac{\Delta \pmb \varphi}{\Delta t}
$$
为时间间隔$\Delta t$内的平均角速度,其方向沿$OG$轴,并符合右手定则,当$\Delta t$趋于零时,$OG$轴趋于转动瞬轴$OC$,因此
$$
\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\pmb \omega^*=\pmb \omega=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb \varphi}{\Delta t}
$$
定义为刚体定点运动的瞬时角速度,它从固定点$O$画出,沿转动瞬轴$OC$,方向满足右手定则

设某瞬时,刚体的角速度为$\pmb \omega$,由刚体定轴转动的概念,球面图形上任一点$M$的速度为:
$$
\pmb v=\pmb \omega\times\pmb r
$$
其中$\pmb r$是点$M$的矢径,$\pmb v$在过点$M$的球面的切平面上,上式给出了刚体定点运动的速度分布。

image-20200607144024669

4.4. 角加速度和刚体上的加速度分布

刚体作定点运动时,定义角速度$\pmb \omega$随时间的变化率为瞬时角加速度,即
$$
\pmb \varepsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\pmb \varphi}{\mathrm dt^2}
$$
设转动瞬轴方向上的单位矢量为$\pmb \omega_0$,则上式可写为
$$
\begin{align}
\pmb \epsilon&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\omega\pmb \omega_0)\\\\
&=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}\pmb \omega_0+\omega\frac{\mathrm d\pmb \omega_0}{\mathrm dt}
\end{align}
$$
角加速度矢量可用角速度矢量的端点的速度表示,在定点运动过程中,$\pmb \omega$将画出一个锥面,$\pmb \epsilon$沿$\pmb \omega$端点的轨迹曲线的切线方向,并通过固定点$O$,一般情况下$\pmb \omega$与$\pmb \epsilon$不共线

image-20200607144841932

刚体作定点运动时,刚体上任一点$M$的加速度为:
$$
\begin{align}
\pmb a&=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb \omega\times \pmb r)\\\\
&=\frac{\mathrm d\pmb\omega}{\mathrm dt}\times \pmb r+\pmb \omega\times\frac{\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\\\\
&=\pmb \varepsilon\times \pmb r+\pmb \omega\times \pmb v\\\\
&=\pmb \varepsilon\times \pmb r+\pmb \omega\times (\pmb \omega\times \pmb r)
\end{align}
$$
其中$\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \pmb r)$指向转动瞬轴,故$\pmb \epsilon\times \pmb r$称为转动加速度,$\pmb \omega\times \pmb v$称为向轴加速度

image-20200607145600266

4.5. 刚体绕相交轴转动的合成

当刚体绕两个相交轴转动时,刚体的瞬时角速度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和,即

$$
\pmb \omega=\pmb \omega_1+\pmb \omega_2
$$

推广到绕多个共点轴转动的情况,即

$$
\pmb \omega=\pmb \omega_1+\pmb \omega_2+\cdots+\pmb \omega_n=\sum\limits_{i=1}^n\pmb \omega_i
$$

如果用欧拉角表示刚体的瞬时角速度

$$
\pmb \omega=\dot{\pmb \psi}+\dot{\pmb \theta}+\dot{\pmb \varphi}
$$

设$\pmb i$,$\pmb j$和$\pmb k$为动坐标系$Oxyz$各个坐标轴上的单位矢量,则

$$
\pmb \omega=(\dot \psi\sin\theta\sin\varphi+\dot\theta\cos\varphi)\pmb i+(\dot\psi\sin\theta\sin\varphi-\dot\theta\sin\varphi)\pmb j+(\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi)\pmb k
$$

欧拉运动学方程:

$$
\begin{align}
\omega_x&=\dot \psi\sin\theta\sin\varphi+\dot\theta\cos\varphi\\\\
\omega_y&=\dot\psi\sin\theta\sin\varphi-\dot\theta\sin\varphi\\\\
\omega_z&=\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi
\end{align}
$$

规则进动

刚体以匀角速度$\pmb \omega_r$绕自转轴自转,此轴又以匀角速度$\pmb \omega_e$绕某固定轴(该轴与自转轴相交)公转,且这两轴夹角$\theta$为常值,刚体瞬时角速度

$$
\pmb \omega=\pmb \omega_e+\pmb \omega_r
$$

由于$\theta$,$\omega_r$,$\omega_e$均为常数,$\pmb \omega$大小也为常数,且$\pmb \omega$与固定轴的夹角保持常值

image-20200607151742225

$\pmb \omega$所在的之间即为转动瞬轴,它以$\pmb \omega_e$绕固定轴转动,因此$\pmb \omega$矢量将画出一个正圆锥,矢量端形成圆锥的底面圆

刚体的角速度

$$
\pmb\epsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\pmb \omega_e\times\pmb\omega=\pmb \omega_e\times(\pmb \omega_e\times \pmb \omega_r)=\pmb \omega_e\times \pmb \omega_r
$$

刚体规则进动时,其角加速度矢量等于其公转角速度与自转加速度的矢积

4.6. 刚体的一般运动

image-20200607152122564

自由刚体有6个自由度,需选取6个广义坐标来描述其空间的相对位置,一般采用基点法研究自由刚体的运动

在刚体上任意选取基点$A$,建立基点平动系$A\xi\eta\zeta$和固定在刚体上的坐标系$Axyz$,刚体的一般运动分解为随基点平动系的平动与相对于基点平动系的定点运动两部分

$x_A$,$y_A$和$z_A$来表示基点$A$的坐标,刚体相对于基点平动系作定点运动的三个欧拉角$\psi$,$\theta$和$\varphi$来描述刚体的转动,则方程组

$$
\begin{align}
x_A&=x_A(t),\ \ \ \ \psi=\psi(t),\\\\
y_A&=y_A(t),\ \ \ \ \theta=\theta(t),\\\\
z_A&=z_A(t),\ \ \ \ \varphi=\varphi(t),
\end{align}
$$

即为刚体一般运动的运动方程。

当选取的基点不同时,随基点平动的规律也不同,但可证明刚体相对于基点的瞬时角速度与基点选择无关

一般运动刚体上的速度分布:

$$
\pmb v_M=\pmb v_e+\pmb v_r=\pmb v_A+\pmb \omega\times\overrightarrow{AM}
$$

其中,牵连速度等于基点$A$的速度$\pmb v_c=\pmb v_A$,$M$点的相对速度$\pmb v_r$是刚体相对于基点平动系作定点运动时,刚体上$M$点的速度$\pmb v_r=\pmb \omega\times\overrightarrow{AM}$

$M$点的牵连加速度等于基点$A$的加速度$\pmb a_A$,相对加速度$\pmb a_r=\pmb \epsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times\pmb v_r$ ,由于动系平动,科氏加速度$\pmb a_k=\pmb 0$ ,故$M$点的加速度为

$$
\begin{align}
\pmb a_M&=\pmb a_A+\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times \pmb v_r\\\\
&=\pmb a_A+\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times (\pmb \omega\times \overrightarrow{AM})
\end{align}
$$

5. 动力学基本定理

5.1. 内力和外力

如果研究对象是质点系,则作用在质点系上的力可以分为内力和外力两类:

  • 内力是质点系内部各质点之间的相互作用力
  • 外力是质点系以外的物体对质点系的作用力。

内力的两个特点:

  • 成对出现
  • 主矢和主矩皆为零

其中,内力的主矢$\pmb R$是所有内力的矢量和
$$
\pmb R^{(i)}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F^{(i)}_{ij}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_{ji}^{(i)}
$$
内力的主矩是所有内力对某一点力矩的矢量和
$$
\pmb L_O=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(\pmb r_i\times \pmb F_{ij}^{(i)})
$$

5.2. 主动力和约束反力

当物体沿着约束所能阻碍地方向有运动趋势时,它就具有改变物体运动状态地作用,就对该物体有力地作用,这种性质地力称为约束反力,约束反力以外的力统称为主动力

5.2.1. 柔索

柔索的特点是只能抗拉。当它受拉时,可以阻止物体沿柔索方向离开,才起约束的作用。所以柔索提供的约束反力,其作用线沿柔索,且背向物体,作用在柔索与物体的连接点上

image-20200607175729559

5.2.2. 刚性约束

保持任意两质点之间的距离不变,这种约束既能承受拉伸也能受压,约束反力沿两质点的连线

5.2.3. 光滑表面

光滑表面提供的约束反力总是过接触点,沿接触表面在该点的公法线方向并指向物体

image-20200607180331730

5.2.4. 光滑的圆柱形铰链

约束反力在与圆柱形孔中心轴线相垂直的平面内,沿圆孔与销钉接触点的公法线

image-20200607180453645

由于作用在零件上的主动力不同,销钉与圆孔的接触点也不同,使得约束反力作用线方向无法确定,一般用经过圆柱形孔中心的两个相互垂直的分量表示

image-20200607180615511

实际圆柱形铰链形式如下:

image-20200607180646989

5.2.5. 球形铰链

在光滑接触条件下,约束反力的作用线必通过球心,通常将约束反力沿坐标轴分解为三个互相正交的分量

image-20200607180807025

5.3. 分离体与受力分析

求解质点系动力学问题的一般步骤:

  1. 确定研究对象,取分离体
  2. 受力分析
  3. 选取坐标系,建立动力学微分方程组
  4. 在给定初始条件或边界条件下求解方程

5.4. 动量定理

设一质点系由$n$个质点组成,其中第$i$个质点的质量为$m_i$,瞬时速度为$\pmb v_i$,则该质点的动量为$\pmb p_i=m_i\pmb v_i$,定义质点系的动量为
$$
\pmb p=\sum\limits_{i=1}^n\pmb p_i=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb v_i
$$
即质点系的动量是系内各质点动量的矢量和

设作用在第$i$个质点上的合力为$\pmb F_i$,则由质点动量定理,有
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\pmb F_i,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
$$
共$n$个方程,将合力$\pmb F_i$分为内力和外力两类,外力记作$\pmb F_i^{(e)}$,内力记作$\pmb F_{ij}^{(i)}(j=1,2,\cdots,n)$,且规定当$j=i$时,$\pmb F_{ij}^{(i)}=\pmb 0$,表示系内第$j$个质点对第$i$个质点的作用力,可知
$$
\pmb F_i=\pmb F_i^{(e)}+\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)},\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
$$
将上述$n$个方程相加,由于内力的主矢$\pmb R=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)}=\pmb 0$,所以
$$
\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_{ij}^{(e)}
$$
交换求导和求和的次序,有
$$
\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum\limits_{i=1}^n(m_i\pmb v_i)=\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt}
$$
定义外力系的主矢为
$$
\pmb R^{(e)}=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i^{(e)}
$$
最终得到
$$
\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt}=\pmb R^{(e)}
$$
表明质点系动量对时间的一次导数等于作用于质点系外力系的主矢

注意:

  1. 质点系动量定理说明质点系动量的变化只决定于外力的主矢,而与其内力无关

  2. 若作用在质点系上的外力系主矢为零,则质点系的总动量不随时间变化

  3. 如果质点系外力系的主矢在某一个方向上投影为零,则质点系的动量在该方向上守恒

  4. 质点系动量定理的微分形式:
    $$
    \mathrm d\pmb p=\pmb R^{(e)}\mathrm dt
    $$
    质点系动量定理的积分形式:
    $$
    \pmb p_2-\pmb p_1=\int_{t_1}^{t_2}\pmb R^{(e)}\mathrm dt
    $$

  5. 动量是该质点的质量与其绝对速度之积

5.5. 质心运动定理

设一质点系由$n$个质点组成,其中第$i$个质点的质量为$m_i$,其矢径为$\pmb r_i$,质点系的质心位置为
$$
\pmb r_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i}{\sum\limits_{i=1}^nm_i}=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i}{M}
$$
式中$\pmb r_C$为质心$C$的矢径,$M$是质点系的总质量。质心的概念适用于任何质点系,且与外力无关

在直角坐标系中,质心的三个坐标为
$$
\begin{matrix}
x_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb x_i}{M}&
y_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb y_i}{M}&
z_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb z_i}{M}
\end{matrix}
$$

$$
M\pmb r_C=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i
$$
对时间$t$求导,得
$$
M\pmb v_C=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i\Big)=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb v_i
$$

$$
M\pmb v_C=\pmb p_C=\pmb p
$$
说明设想把质点系得全部质量都集中到质心一个点上,则$M\pmb v_C$就是质心的动量,记作$\pmb p_C$,质心的动量等于质点系的动量$\pmb p$,两边对时间求导一次,得
$$
\frac{\mathrm d\pmb p_C}{\mathrm dt}=\pmb R^{(e)}
$$
表明质心得动量变化率等于外力系得主矢

5.6. 动量矩定理

image-20200607200728341

设一质点系由$n$个质点组成,其中第$i$个质点的质量为$m_i$,瞬时速度为$\pmb v_i$,矢径为$\pmb r_i$,它对固定点$O$的动量矩为$\pmb H_{oi}$,如图所示,有
$$
\pmb H_{oi}=\pmb r_i\times m_i\pmb v_i\ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)
$$
定义质点系对$O$点的动量矩为:
$$
\pmb H_0=\sum\limits_{i=1}^n\pmb H_{oi}=\sum\limits_{i=1}^n\pmb r_i\times m_i\pmb v_i
$$
质点系的动量矩等于系内各质点对同一点动量矩的矢量和

对每一个质点,质点动量矩定理均成立,故
$$
\frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}=m_0(\pmb F_i),\ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)
$$
式中$\pmb F_i$为作用在第$i$个质点上的合力,这些力可分为内力$\pmb F_{ij}^{(i)}$和外力$\pmb F_o^{(e)}$两类,故:
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}&=m_o(\pmb F_i^{(e)})+m_0\Big(\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)}\Big)\\\\
&=m_0(F_i^{(e)})+\sum\limits_{j=1}^nm_0\Big(\pmb F_{ij}^{(i)}\Big), \ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)
\end{align}
$$
将上述$n$个方程相加,由于内力主矩为零,即
$$
\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^Nm_0(\pmb F_{ij}^{(i)})=0
$$
所以
$$
\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}=\sum\limits_{i=1}^nm_0(\pmb F_i^{(e)})
$$
等式右端为作用在质点系上外力系各个力对$O$点力矩的矢量和,称为外力系的主矩,记作$\pmb L_0^{(e)}$ ,即
$$
\sum\limits_{i=1}^nm_0(\pmb F_i^{(e)})=\pmb L_0^{(e)}
$$
最终可得
$$
\frac{\mathrm d\pmb H_0}{\mathrm dt}=\pmb L_o^{(e)}
$$
说明质点系对于某一固定点$O$的动量矩$\pmb H_0$对时间的一阶导数等于作用在质点系上外力系对同一点的主矩

注意:

  1. 当质点系不受任何外力作用时,质点系总动量矩为一常矢量,即$\pmb H_0=C$,该常矢量由运动的初始条件决定

  2. 质点系对固定轴的动量矩定理:
    $$
    \left{
    \begin{matrix}
    \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot z_iy_i-\dot y_iz_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_x(\pmb F_i^{(e)})\\\\
    \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot x_iz_i-\dot z_ix_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_y(\pmb F_i^{(e)})\\\\
    \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot y_ix_i-\dot x_iy_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_z(\pmb F_i^{(e)})\\\\
    \end{matrix}
    \right.
    $$

  3. 质点系所受外力对某一固定点的主矩不为零,但主矩在过该点的某一固定轴上的投影为零,则质点系对此轴的动量矩守恒

  4. 动量矩定理微分形式
    $$
    \mathrm d\pmb H_0=\pmb L_0^{(e)}\cdot \mathrm dt
    $$
    动量矩定理积分形式
    $$
    \pmb H_{o2}-\pmb H_{o1}=\int_{t_1}^{t_2}\pmb L_0^{(e)}\mathrm dt
    $$

image-20200607202630931

质点系相对质心的动量矩定理

image-20200607202805101

如图所示,$Oxyz$为一固定坐标系,$Cx’y’z'$为一跟随质心平动的坐标系,称为质心平动坐标系。质点系中第$i$个质点的质量为$m$,它在定坐标系$Oxyz$中的矢径为$\pmb r_i$,速度为$\pmb v_i$,它在动坐标系$Cx’y’z'$中矢径为$\pmb r'_i$,速度为$\pmb v_i'$。质心$C$在坐标系$Oxyz$中矢径为$\pmb r_C$,速度为$\pmb v_C$,质点系在质心平动坐标系中相对于质心的动量矩为

$$
\pmb H_C'=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb r'\times m_i\pmb v_i')
$$

而质点系在固定坐标系中绝对运动相对$O$点的动量矩为:

$$
\pmb H_o=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb r_i\times m_i\pmb v_i)
$$

从而

$$
\pmb H_0=\pmb r_C\times M\pmb v_c+\pmb H'_C
$$

表明质点系对固定点$O$的动量矩,等于质心的矢径与质点系动量的矢量积以及质点系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩两项之和

在相对质心平动坐标系的运动中,质心系对质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩,如下式

$$
\frac{\mathrm d\pmb H_C'}{\mathrm dt}=\pmb L_C^{(e)}
$$

5.7. 刚体的平面运动

image-20200607221421597

设刚体的平面图形受到$\pmb F_1$,$\pmb F_2$,$\cdots$,$\pmb F_n$共以$n$个力的作用,坐标系$Oxy$为固定的惯性参考系,$Cx’y'$为质心平动坐标系,将刚体的绝对运动分解成跟随质心的平动和相对质心平动坐标系的转动,则可写出
$$
\frac{\mathrm dp_{Cx}}{\mathrm dt}=M\ddot x_C=R_x\\\\
\frac{\mathrm dp_{Cy}}{\mathrm dt}=M\ddot y_C=R_y
$$
式中$M$为刚体的质量,$R_x$和$R_y$是外力系的主矢在$x$,$y$方向上的分量,最终可推出
$$
I_C\cdot \varepsilon=L_{Cz}
$$
$I_C$是刚体对于通过质心且垂直于平面图形的轴的转动惯量

$I_{Cz}$是外力系对通过质心且垂直于平面图形的轴之矩的代数和

应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理,得到了三个动力学方程,给出三个广义坐标$x_C$,$y_C$和$\varphi$的封闭方程组
$$
M\ddot x_C=\sum\limits_{i=1}^nF_{ix},\ \ \ \
M\ddot y_C=\sum\limits_{i=1}^NF_{iy},\ \ \
I_C\cdot \varepsilon =I_{Cz}
$$
称为刚体平面运动微分方程组,若有初始条件,即$t=0$时,
$$
\begin{align}
x_C&=x_{C0},\ \ \ \ \dot x_C=\dot x_{C0}\\\\
y_C&=y_{C0},\ \ \ \ \dot y_C=\dot y_{C0}\\\\
\varphi_C&=\varphi_{0},\ \ \ \ \ \ \ \dot \varphi=\dot \varphi_{0}
\end{align}
$$
若方程组可解,将得到
$$
x_C=x_C(t),\ \ \ \ y_C=y_C(t),\ \ \ \ \varphi=\varphi(t)
$$
则平面图形的运动状况全部可知

5.8. 力系的功

如果有一个力系$\pmb F_i(i=1,2,\cdots,n)$,它的各个力分别作用在质点系得不同质点上,各受力质点的矢径为$\pmb r_i(i=1,2,\cdots,n)$,则该力系对质点系的总元功等于各个力所作元功之和,即
$$
\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot\mathrm d\pmb r_i
$$
现讨论具体问题:

  1. 作用在平动刚体上外力系的功
    $$
    \delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_C=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r_C
    $$
    式中$\pmb R$是外力系的主矢,上式表明作用在平动刚体上外力系的总元功,等于外力系的主矢于质心微小位移的标量积

  2. 作用在定轴转动刚体上外力系的功

    image-20200607232639793

    设作用在刚体上任一外力为$\pmb F_i(i=1,2,\cdots,n)$,$\pmb F_i$在受力质点轨迹切线方向的投影为$\pmb F_{i\tau}$,如图所示,现在给刚体一微小转角$\mathrm d\varphi$,则受力质点移动的微小弧长为
    $$
    \mathrm ds_i=r_i\mathrm d\varphi
    $$
    式中,$r_i$为受力质点到固定转轴$z$的垂直距离。故外力系总元功为
    $$
    \begin{align}
    \delta W&=\sum\limits_{i=0}^nF_{i\tau}\cdot r_i\mathrm d\varphi\\\\
    &=\sum\limits_{i=1}^nL_{zi}\cdot \mathrm d\varphi\\\\
    &=L_z\cdot \mathrm d\varphi
    \end{align}
    $$
    式中,$L_z$是外力系对固定转轴$z$的力矩,它等于力系中每一个力对同一个轴力矩的代数和。上式说明作用在定轴转动刚体上外力系的总元功,等于外力系对转轴之矩与微小转角之积

  3. 作用在作平面运动刚体上外力系的功

    设任一力$\pmb F_i$的受力质点获得一维小位移$\mathrm dr_i$,则该微小位移可分解为跟随质心平动系的微小位移$\mathrm dr_c$,和相对质心平动坐标系的微小位移$r_i'\mathrm d\varphi$。其中,$r_i'$是受力质点到质心的矢径,力$\pmb F_i$在这两种微小位移上的元功可分别按1和2的情况计算,即
    $$
    \begin{align}
    \delta W&=\sum\limits_{i=0}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_C+\sum\limits_{i=0}^n\pmb F_i\cdot \pmb r_i'\mathrm d\varphi\\\\
    &=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r_C+\pmb L_{Cz}\cdot \mathrm d\varphi
    \end{align}
    $$
    式中$\pmb L_{Cz}$通过质心$C$且垂直于刚体平面图形的轴。上式说明作用在平面运动刚体上外力系的总元功,等于力系主矢在质心位移上的元功与主矩在刚体转动位移上的元功之和

  4. 质点系内力的功

    image-20200608114152937

    设质点系共有$n$个质点,任意两个质点$m_i$和$m_j$之间的内力为$\pmb F_{ij}$和$\pmb F_{ji}$,两质点的矢径分别为$\pmb r_i$和$\pmb r_j$,如图所示,则有
    $$
    \delta W_{ij}=\pmb F_{ij}\cdot\mathrm d\pmb r_{ij}
    $$
    式中$\mathrm d\pmb r_{ij}$是由质点$m_i$指向质点$m_j$的矢量的微小变化中质点$m_j$相对质点$m_i$距离的微小变化

    说明:

    • 当两质点间的距离有变化时,一对内力的元功之和不为零
    • 当质点系内任意两质点之间距离有变化时,内力的元功之和不为零
    • 只有当任意两质点距离不变时,内力的元功之和才为零
    • 对于刚体来说,因其任意两质点 都受刚性约束,距离不会改变,故内力系元功之和为零

5.9. 动能定理

质点系的动能$T$定义为系内各质点动能之和,即
$$
T=\sum\limits_{i=1}^nT_i=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2
$$
故动能总是大于或等于零的

对系内任意质量为$m_i$速度为$v_i$的质点,有
$$
\mathrm dT=\mathrm d\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2 \Big)=\delta W_i=\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_i
$$
式中$\pmb F_i$为作用在该质点上的合力, 是合力的元功之和,作用在该质点上的力可分解为内力和外力,所以
$$
\delta W_i=\delta W_i^{(e)}+\delta W_i^{(i)}
$$
式中,
$$
\delta W_i^{(e)}=\pmb F_i^{(e)}\cdot \mathrm d\pmb r_i\\\\
\delta W_i^{(i)}=\pmb F_i^{(i)}\cdot \mathrm d\pmb r_i
$$
分别是作用在该质点上的合外力和合内力的元功.将这$n$个方程加起来,并在等号左边交换求和与求导次序,得
$$
\mathrm dT=\mathrm d\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2 \Big)=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i^{(e)}+\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i^{(i)}
$$
这就是质点系的动能定理的微分形式,质点系动能的微分,等于作用在质点系上所有力的元功之和

对于质点系,可能存在多个约束反力.若所有的约束反力在可能的位移上所做的元功之和为零,即
$$
\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \mathrm d\pmb r_i=0
$$
则称为理想约束。因此,在理想约束下,质点系的动能的变化,决定于全部主动力所做的元功之和,而与约束反力无关

质点系的动能与质心动能的关系

image-20200608162915971

取质心平动坐标系,故
$$
T=\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^nm_iv_i'^2
$$
上式说明质点系的动能等于全部质量集中在质心时的质心的动能,加上质点系相对质心平动坐标系运动所具有的动能,这一规律称为**柯尼希定理**。注意:这一定理仅在以质心为原点 的平动坐标系中才成立

应用:

  1. 平动刚体的动能
    $$
    T=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\Big)\cdot v_C^2=\frac{1}{2}Mv_C^2
    $$

  2. 定轴转动刚体的动能
    $$
    \begin{align}
    T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i(r_i\omega)^2\\\\
    &=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_ir_i^2 \Big)\cdot \omega^2=\frac{1}{2}I_z\omega^2
    \end{align}
    $$

  3. 平面运动刚体的动能
    $$
    \begin{align}
    T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i(v_C+v_i')^2\\\\
    &=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i \Big)v_C^2+\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i \Big)v_i'^2+v_C\cdot \sum\limits_{i=1}^nm_iv_i'\\\\
    &=\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{2}I_C\omega^2
    \end{align}
    $$

5.11. 保守系统

力场: 如果质点在一个空间区域内的任意位置上都受到大小和方向确定的作用力,则称该空间分布了一个力场

保守力场:在质点运动过程中,若力场作用在质点上的力所做的功仅仅取决于质点的起止位置,而与质点所经的具体路径无关,这样的力场就称为有势力场或保守力场

势函数: 当力的元功可以表示成质点位置坐标的某个单值连续函数$\Phi(x,y,z)$的全微分时, 称函数$\Phi(x,y,z)$为有势力场的势函数或力函数.

势能函数:记$V(x,y,z)=-\Phi(x,y,z)$,称$V(x,y,z)$为有势力场的势能函数

质点系在保守力场中的动能定理可表述为机械能守恒定律
$$
\mathrm dT=-\sum\limits_{i=1}^n\mathrm dV_i\\\\
T+V=C
$$
说明保守系统在运动过程的任一位形上动能和势能之和不变,其值由运动的初始条件决定

6. 刚体静力学

6.1. 静力学基础

不受外力 $\rightarrow$ 合力为零 $\rightarrow$ 平衡力系

匀速直线运动或静止 $\rightarrow$ 平衡状态

平衡状态

质点:
$$
\pmb v=\pmb v_0(常矢量)
$$
质点系:
$$
\pmb v_k=\pmb v_0(常矢量),\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n
$$
刚体:
$$
\begin{align}
\pmb v_i&=\pmb v_c+\pmb \omega\times \pmb r_i\equiv \pmb v_c,\ \ \ \ \forall \pmb r_i\\\\
\pmb v_c&=\pmb v_0(常矢量),\ \ \ \ \pmb \omega=\pmb 0
\end{align}
$$
平衡力系

质点:
$$
\pmb R\mathop=\limits^{def}\sum\limits_{i}\pmb F_i=\pmb 0
$$
质点系:
$$
\pmb R_k\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb F_{ki}^E+\sum\limits_{j=1}^N\pmb F_{kj}^I=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n\ \ \ \ (\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{kj}^I=\pmb 0)
$$
刚体:
$$
\begin{align}
\pmb R&\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb F_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(M\pmb v_C)=\pmb 0\\\\
\pmb L_c&\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb J_c\pmb \omega)=\pmb 0\\\\
\end{align}\\\\
合力(主矢\pmb R)为零,合力矩(主矩\pmb L_c)为零
$$
**质点系处于平衡状态的充要条件**
$$
\pmb R_k=\pmb 0,\pmb v_k\Big|_{t=0}=\pmb v_0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n
$$
**刚体处于平衡状态的充要条件**
$$
\pmb R=\pmb 0,\pmb L_c=\pmb 0,\pmb \omega\Big|_{t=0}=\pmb 0
$$
**力矩的计算**

image-20200608171408317

矢径$\pmb r=r_1\pmb e_1+r_2\pmb e_2+r_3\pmb e_3$上的力$\pmb F=f_1\pmb e_1+f_2\pmb e_2+f_3\pmb e_3$形成的力矩$\pmb L=L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3$如下
$$
\begin{align}
\pmb L&=\pmb r\times \pmb F\\\\
&=\left|
\begin{matrix}
r_1&r_2&r_3\\\\
f_1&f_2&f_3\\\\
\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3
\end{matrix}
\right|=
\left|
\begin{matrix}
\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\\\\
r_1&r_2&r_3\\\\
f_1&f_2&f_3
\end{matrix}
\right|
\\\\
&=(r_2f_3-r_3f_2)\pmb e_1+(r_3f_1-r_1f_3)\pmb e_2+(r_1f_2-r_2f_1)\pmb e_3\\\\
&\mathop=\limits^{\Delta} L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3
\end{align}
$$

6.2. 等效力系与力系简化

6.2.1. 等效力系

等效力系

两组力系等效,系指两组力系分别作用于同一物体(质点、质点系、刚体),其动力学特征相同(动量及动量矩的变化率相同)

对刚体来说,只要主矢$\pmb R$ 、对质心的主矩$\pmb L_c$相同,即为等效力系

力系主矩定理(对刚体)
$$
\pmb L_A=\pmb L_B+\overrightarrow{AB}\times \pmb R
$$
证明:

image-20200608173149651
$$
\begin{align}
\pmb L_A&=\sum\limits_{i}m_A(\pmb F_i)=\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i\\\\
&=\sum\limits_i(\overrightarrow {AB}+\pmb r_i')\times \pmb F_i=\overrightarrow{AB}\times \sum\limits_i\pmb F_i+\sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i\\\\
&=\overrightarrow {AB}\times \pmb R+\pmb L_B
\end{align}
$$
显然,若$\overrightarrow{AB}//\pmb R$,则有$\pmb L_A=\pmb L_B$。由此可得:在力矢量延长线上任取一点作为力作用点,其力矩保持不变

根据主矩定理可以得到
$$
\pmb R=\pmb 0,\pmb L_C=\pmb 0\Leftrightarrow \pmb R=\pmb 0,\pmb L_A=\pmb 0,\forall \pmb A
$$
刚体力系平衡的充要条件:主矢为零、对任一点的主矩为零

刚体力系等效原理

主矢相同、对任一点的主矩相同

力系1与力系2等效的充要条件为:力系1与力系2的主矢相同,力系1与力系2对质心(或其它点)的主矩相同,即有
$$
\begin{cases}
\pmb R_1=\pmb R_2\\\\
\pmb L_{C1}=\pmb L_{C2}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\pmb R_1=\pmb R_2\\\\
\pmb L_{A1}=\pmb L_{A2}
\end{cases},
\forall A
$$
其中考虑力系的主矩定理
$$
\pmb L_{A1}=\pmb L_{C1}+\overrightarrow {AC}\times \pmb R_1\\\\
\pmb L_{A2}=\pmb L_{C2}+\overrightarrow {AC}\times \pmb R_2
$$
**力偶**

image-20200608181310036

大小相等方向相反(不共线)的一对力${\pmb P, -\pmb P} $ ,主矢$\pmb R=\pmb 0$,对任一点$C$的主矩
$$
\begin{align}
\pmb L_C&=\overrightarrow{CA}\times \pmb P+\overrightarrow{CB}\times(-\pmb P)=(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})\times \pmb P\\\\
&=\overrightarrow{BA}\times \pmb P\mathop=\limits^{\Delta} \pmb M
\end{align}
$$
力矩(力偶矩)与查考点的选取无关,其大小为
$$
|\pmb M|=|\pmb P|d
$$
其中$d$为力偶臂,作用力沿力矢量延长线移动,是相互等效的;作用力平行移动,产生附加力偶

三力平衡原理

若刚体上三力平衡,则三力共面且汇交(平行线相交于无穷远点)

image-20200608193419852

二力构件

image-20200608193522060

三力构件

image-20200608193539500

6.2.1. 力系简化

image-20200608193616453

刚体上力系的动力学特征取决于主矢$\pmb R$与主矩$\pmb L_A$(对某点$A$),利用力系等效原理,可以把复杂力系简化为由主矢与主矩组成的简单力系${\pmb R,\pmb L_A}$。根据等效原理,主矢$\pmb R$保持不变而主矩$\pmb L_A$依赖于简化中心$A$

因主矢具有简化不变性,我们称主矢$\pmb R$为第一不变量

考虑到两力系${\pmb R,\pmb L_A }$与${\pmb R,\pmb L_B=\pmb 0 }$等效,对$A$点的矩相等,就有
$$
\pmb L_A=\overrightarrow{AB}\times \pmb R\Rightarrow \pmb L_A\perp \pmb R,\pmb L_A\perp \overrightarrow {AB}
$$
上式左边等式实际上是这两力系等效的充分必要条件,右边垂直关系是等效的必要条件

image-20200608220224753

若$\pmb L_A\perp \pmb R$,作过$\pmb R$且以$\pmb L_A$为法向量的平面$\Sigma$,又因$\pmb L_A\perp \overrightarrow{AB}$,$B$点可在$\Sigma$平面中选取,令
$$
\pmb p=\pmb L_A\perp \pmb R\mathop=\limits^\Delta \pmb R^\perp
$$
向量组${\pmb L_A,\pmb R,\pmb p}$形成三维直角坐标架。考虑到

$$
\begin{align}
\overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AB}_ {\pmb R}+\overrightarrow {AB}_ {\pmb R^{\perp}}\\\\
\pmb L_ A&=\overrightarrow{AB}\times \pmb R=\overrightarrow{AB}_ {\pmb R}\times \pmb R+\overrightarrow{AB}_ {\pmb R^\perp}\times \pmb R=\overrightarrow{AB}_ {\pmb R^\perp}\times \pmb R
\end{align}
$$

可以看到,只需在$\pmb p=\pmb R^{\perp}$方向上寻找$B$点即可,因此我们取

$$
\overrightarrow{AB}=k\pmb p=k\pmb L_A\times \pmb R,\ \ \ \ k待定
$$

从而有$\pmb L_A=\overrightarrow{AB}\times \pmb R=k(\pmb L_A\times \pmb R)\times \pmb R$,取长度

$$
|\pmb L_A|=|k||\pmb L_A|R^2,\ \ \ \ (\pmb R\cdot \pmb R\mathop=\limits^\Delta R^2)
$$

得到

$$
|k|=\frac{1}{R^2}\Rightarrow k=-\frac{1}{R^2},\ \ \ \ (R\neq 0)
$$

于是

$$
\overrightarrow {AB}=-\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}
$$

上述$B$点的选择满足了力系等效的条件,事实上

$$
\overrightarrow{AB}\times \pmb R=-\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}\times \pmb R=\pmb L_A
$$

因此力系${\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A}$可简化为${\pmb R,\pmb L_B=\pmb 0}$的充分必要条件为$\pmb L_A\perp \pmb R$

image-20200608224244863

满足力系等效条件的$B$点取法是不唯一的,事实上一般地可取

$$
\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}+\alpha\pmb R,\ \ \
\alpha为任意实数
$$

因为前面已知添加主矢$\pmb R$方向的分量不改变主矩$\pmb L_A$的值

如果$\pmb L_A\not\perp \pmb R$,就不能作通过选点使主矩为零的简化,但可做一些分析

一般地

$$
\pmb L_A=\pmb L_B+\overrightarrow{AB}\times \pmb R
$$

从而有投影关系

$$
\pmb L_B\cdot \pmb R=\pmb L_A\cdot \pmb R
$$

即,主矩在主矢上的投影不变(第二不变量)

$$
\begin{align}
\pmb L_A^{//}&=\Big(\pmb L_A\cdot \frac{\pmb R}{R}\Big)\frac{\pmb R}{R}=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\\\\
\pmb L_A^\perp&=\pmb L_A-(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}
\end{align}
$$

因此力系${\pmb F_A=\pmb R,\pmb L_A}$可简化为${\pmb F_B=\pmb R,\pmb L_B}$,其中同样选择

$$
\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A^\perp}{R^2}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}
$$

对该选点$B$,有

$$
\pmb L_B=\pmb L_A^{//}=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\mathop=\limits^\Delta \pmb M
$$

事实上,对该选点$B$可以间接证明:

$$
\begin{align}
\pmb L_B&=\pmb L_A+\overrightarrow{BA}\times \pmb R=\pmb L_A+\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}\times \pmb R\\\\
&=\pmb L_A+(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}-(\pmb R\cdot \pmb R)\frac{\pmb L_A}{R^2}\\\\
&=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}
\end{align}
$$

刚体上力系简化的四种情况

  • $\pmb R=\pmb 0,\pmb L_A=\pmb 0\Rightarrow$平衡力系
  • $\pmb R=\pmb 0,\pmb L_A\neq \pmb 0\Rightarrow$力偶$\pmb M=\pmb L_A$
  • $\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A\perp\pmb R\Rightarrow$合力$\pmb F_B=\pmb R,\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$
  • $\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A\not\perp \pmb R\Rightarrow$力螺旋$\pmb F_B=\pmb R,\pmb L_B=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\mathop=\limits^\Delta\pmb M,\overrightarrow {AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$

特别情况:

  • 刚体上平面力系可以简化为合力或合力偶
  • 刚体上空间平行力系可以简化为合力或合力偶
  • 最一般的情形是力螺旋

举例

image-20200609093453546

在三维直角坐标系中,设有$n$个$z$方向的力
$$
\pmb F_i=(0,0,F_i)
$$
作用点分别为$(x_i,y_i,z_i)$,$i=1,2,\cdots,n$

对坐标为$(x_B,y_B,0)$的$B$点简化,其合力
$$
\pmb F_B=(0,0,F_B),\ \ \ \ \pmb F_B=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i
$$
利用平行力系对原点的矩与等效力对原点的矩相等,可求出等效力的位置坐标
$$
\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i=\pmb r_B\times \pmb F_B\Longrightarrow \sum\limits_i \left|\begin{matrix}x_i&y_i&z_i\\\\0&0&F_i\\\\\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\end{matrix} \right|=\left|\begin{matrix}x_B&y_B&0\\\\0&0&F_B\\\\\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3 \end{matrix} \right|
$$
其中,
$$
x_B=\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_iF_i}{\sum\limits_{i=1}^nF_i},\ \ \
y_B=\frac{\sum\limits_{i=1}^ny_iF_i}{\sum\limits_{i=1}^nF_i}
$$

6.2. 静力学分析

分析步骤:

  1. 研究对象:确定分离体
  2. 受力分析:主动力、被动力(约束力)、受力图
  3. 平衡方程:列出平衡方程并求解
  4. 结果讨论:讨论与问题总结

对象平衡方程是一组代数方程,平衡方程个数为:

  • $N$个平面刚体$\Rightarrow 3N$个独立变量

  • $N$个空间刚体$\Rightarrow 6N$个独立变量

如果通过平衡方程可以解出所有未知量(主要是约束力),称为静定问题;反之,如果不能全部解出未知量,成为静不定问题或超静定问题

**桁架结构与常见约束 **

image-20200609100420520

空间力系平衡方程

image-20200609100735455

考虑对任意方向求力矩,考察力矩$\pmb L$和一个单位矢量$\pmb p$
$$
\pmb L=L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3,\ \ \ \
\pmb p=p_1\pmb e_1+p_2\pmb e_2+p_3\pmb e_3
$$
其中,$p_1=\cos\alpha,p_2=\cos\beta,p_3=\cos\gamma$是矢量$\pmb p$的方向余弦

力矩$\pmb L$在单位矢量$\pmb p$上的投影称为广义的轴距
$$
L_p=\pmb L\cdot \pmb p=L_1p_1+L_2p_2+L_3p_3
$$
如果有三个线性无关的单位矢量$\pmb p,\pmb q,\pmb r$,不难证明
$$
\pmb L=\pmb 0\Longleftrightarrow\begin{bmatrix}L_1\\\\L_2\\\\L_3\end{bmatrix}=\pmb 0\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}p_1&p_2&p_3\\\\q_1&q_2&q_3\\\\r_1&r_2&r_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}L_1\\\\L_2\\\\L_3\end{bmatrix}=\pmb 0\Longleftrightarrow L_p=L_q=L_r=0
$$
现证明在空间平衡力系中平行不共面的取轴矩最多只能取三条

image-20200609101707053

考查三点$A$,$B$,$C$,它们形成平面, 再取点$D$,其上均有单位矢量$\pmb p$, 只需证明轴矩关系
$$
L_{Ap}=L_{Bp}=L_{Cp}=0\Longrightarrow L_{Dp}=0
$$
这里$D$可取在平面$ABC$上, 事实上,对于经过$D$在$\pmb p$方向上的另一点$D’ $,我们有
$$
L_{D’p}=\pmb L_{D'}\cdot \pmb p=(\pmb L_D+\overrightarrow {D’D}\times \pmb R)\cdot \pmb p=\pmb L_D\cdot \pmb p=L_{Dp}
$$
从而点$D$的位置可表示为$\overrightarrow{DA}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{CA}$,注意到
$$
L_{Ap}=\pmb L_A\cdot \pmb p,\ \ \ \ \pmb L_{Bp}=\pmb L_B\cdot \pmb p=(\pmb L_A+\overrightarrow{BA}\times \pmb R)\cdot \pmb p\\\\
L_{Cp}=\pmb L_C\cdot\pmb p=(\pmb L_A+\overrightarrow{CA}\times \pmb R)\cdot \pmb p
$$
于是
$$
\begin{align}
L_{Dp}&=(\pmb L_A+\overrightarrow{DA}\times \pmb R)\cdot \pmb p=(\pmb L_A+\lambda\overrightarrow{BA}\times \pmb R+\mu\overrightarrow{CA}\times \pmb R)\cdot \pmb p\\\\
&=(1-\lambda-\mu)L_{Ap}+\lambda L_{Bp}+\mu L_{Cp}=0
\end{align}
$$
得证

摩擦力

摩擦力是两个物体接触处存在的阻碍相对运动的力,库仑摩擦定律表述为:
$$
|\pmb F|\leq F_{\max}=fN,\ \ \ \
|\pmb M|\leq M_{\max}=\delta N
$$
其中$|\pmb N|=N$为正压力,$\pmb F$为切向摩擦力($F_\max$为最大值),$\pmb M$为滚阻摩擦力偶矩($M_\max$为最大值),$f$为静(滑动)摩擦系数,$\delta$为滚动摩擦系数。一般地,动摩擦系数小于静摩擦系数,由于
$$
\pmb F+\pmb N\mathop=\limits^\Delta \pmb S\\\\
\frac{F_\max}{N}=f\mathop=\limits^\Delta \tan\varphi,\ \ \ \ \varphi=\arctan f
$$
这里摩擦力与正压力的合力(全反力)记为$\pmb S$,以摩擦角$φ$为半顶角作一圆锥(摩擦锥)。物体滑动的自锁条件是接触反力$\pmb S$处于摩擦锥内

image-20200609103049674

7. 刚体动力学

7.1. 矢量力学

7.1.1. 坐标变换

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考查由三个单位向量组成的直角坐标架$\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)$,以及坐标原点不变但经过旋转得到新的由三个单位向量组成的直角坐标架$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$,新旧基向量之间有线性表示(坐标变换)
$$
\pmb e_j=\sum\limits_{i=1}^3\pmb u_iq_{ij},\ \ \ \ j=1,2,3\\\\
(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)\begin{bmatrix}
q_{11}&q_{12}&q_{13}\\\\
q_{21}&q_{22}&q_{23}\\\\
q_{31}&q_{32}&q_{33}
\end{bmatrix}
$$
简记为$\pmb e=\pmb uQ$

其中,$q_{ij}=\pmb u_i\cdot \pmb e_j$表示$\pmb u_i$与$\pmb e_j$之间的方向余弦,变换矩阵$Q=(q_{ij})_{3\times 3}$ ,

注意到坐标基向量之间两两单位正交$\pmb u_i\cdot \pmb u_i=\delta_{ij}$,$\pmb e_i\cdot \pmb e_j=\delta _{ij}$,现对
$$
\pmb e_i=\sum\limits_k \pmb u_kq_{ki},\ \ \ \ \pmb e_j=\sum\limits_l \pmb u_iq_{lj}
$$
做内积,得
$$
\delta _{ij}=\pmb e_i\cdot \pmb e_j=\sum\limits_k q_{ki}q_{kj}
$$
写成矩阵形式
$$
Q^TQ=I=(\delta _{ij})_{3\times 3}, \ \ \ \ Q^{-1}=Q^T
$$
这表明变换矩阵$Q$是正交矩阵,可得由$\pmb e$到$\pmb u$的坐标变换
$$
\pmb u=\pmb eQ^T
$$
正交变换矩阵$Q$有9个元素,但因有6个正交性约束方程,因此矩阵$Q$一般只有3个独立量

通常取原坐标架$\pmb u$为固定坐标架,而$\pmb e$为动坐标架,因此有时间导数
$$
\dot{\pmb e}=\pmb u\dot Q=\pmb eQ^T\dot Q
$$
对$Q^TQ=I$两边求导
$$
0=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(Q^TQ)=\dot Q^TQ+Q^T\dot Q=(Q^T\dot Q)^T+Q^T\dot Q
$$
意味着矩阵
$$
Q^T\dot Q\mathop=\limits^\Delta S(\omega)=\begin{bmatrix}
0&-\omega_3&\omega_2\\\\
\omega_3&0&-\omega_1\\\\
-\omega_2&\omega_1&0
\end{bmatrix}
$$
反对称,通常称为角速度矩阵(反对称算子),实际上对向量$\pmb p$和$\pmb q$有
$$
\pmb p\times \pmb q=S(\pmb p)\pmb q
$$

7.2. 刚体定点运动

7.2.1. 角速度矢量

设$\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)$为固定坐标架,$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$为固连在刚体上随刚体一起运动的随体坐标架,坐标架原点均取在刚体定点转动的固定点。设刚体上某点$P$的位置矢径
$$
\pmb r=\begin{bmatrix}\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_1\\\\r_2\\\\r_3\end{bmatrix}\mathop=\limits^\Delta \pmb e\cdot r=\pmb uQr
$$
其中,$r=(r_1,r_2,r_3)^T$是该点的随体坐标,它是不变的。点$P$的速度为
$$
\begin{align}
\pmb v&=\dot{\pmb r}=\pmb u\dot Qr=\pmb eQ^T\dot Qr=\begin{bmatrix}\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0&-\omega_3&\omega_2\\\\
\omega_3&0&-\omega_1\\\\
-\omega_2&\omega_1&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}r_1\\\\r_2\\\\r_3\end{bmatrix}\\\\
&=(\omega_2r_3-\omega_3r_3)\pmb e_1+(\omega_3r_1-\omega_1r_3)\pmb e_2+(\omega_1r_2-\omega_2r_1)\pmb e_3\\\\
&=\left|\begin{matrix}\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\\\\\omega_1&\omega_2&\omega_3\\\\r_1&r_2&r_3 \end{matrix}\right|=\pmb \omega\times \pmb r
\end{align}
$$
定义角速度矢量(来源于旋转阵$Q$,可称为动坐标架相对于定坐标架的角速度)
$$
\pmb \omega=\omega_1\pmb e_1+\omega_2\pmb e_2+\omega_3\pmb e_3\mathop=\limits^\Delta \pmb e\omega,\ \ \ \ \omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)^T
$$
实际上角速度矢量不依赖于随体坐标架的选择,因为若对应随体坐标架$\pmb e$与$\pmb e’$的角速度分别为$\pmb ω$与$\pmb ω’$,刚体上某点的速度
$$
\pmb v=\pmb \omega\times \pmb r=\pmb \omega'\times \pmb r,\ \ \ \ \forall \pmb r
$$
故有$\pmb \omega'=\pmb \omega$ ,即角速度矢量具有不变性,称为刚体的角速度

对一般的向量$\pmb p=\pmb e\begin{bmatrix}p_1&p_2&p_3\end{bmatrix}^T$求导,类似有
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\pmb p&=\pmb e\begin{bmatrix}\dot p_1\\\\\dot p_2\\\\\dot p_3\end{bmatrix}+\dot{\pmb e}\begin{bmatrix}p_1\\\\p_2\\\\p_3\end{bmatrix}=\pmb e\begin{bmatrix}\dot p_1\\\\\dot p_2\\\\\dot p_3\end{bmatrix}+\pmb eQ^T\dot Q \begin{bmatrix} p_1\\\\ p_2\\\\ p_3\end{bmatrix}\\\\
&\mathop=\limits^\Delta \frac{\tilde{\mathrm d}}{\mathrm dt}\pmb p+\pmb\omega\times\pmb p
\end{align}
$$
特别地,基向量的导数
$$
\dot{\pmb e}_i=\pmb \omega\times \pmb e_i,\ \ \ \ i=1,2,3\\\\
\dot{\pmb e}_i\cdot \pmb e_j=(\pmb \omega\times \pmb e_i)\cdot \pmb e_j=\pmb \omega\cdot(\pmb e_i\times \pmb e_j)
$$
由此得到
$$
\pmb \omega=(\dot{\pmb e}_2\cdot \pmb e_3)\pmb e_1+(\dot{\pmb e}_3\cdot \pmb e_1)\pmb e_2+(\dot{\pmb e}_1\cdot \pmb e_2)\pmb e_3
$$
上述绝对导数与相对导数公式一般可以写成
$$
\frac{\mathrm d^A}{\mathrm dt}\pmb p=\frac{\mathrm d^B}{\mathrm dt}\pmb p+\pmb \omega^{B|A}\times \pmb p
$$
其中,$\frac{\mathrm d^A}{\mathrm dt}$表示向量$\pmb p$在坐标架$A$中的时间导数,$\pmb \omega^{B|A}$表示坐标架$B$相对于坐标架$A$的角速度

7.2.2. 刚体定点转动的运动学关系

image-20200609115957046

考虑到坐标变换阵$Q$只含3个独立变量,我们进行连续三次特别的坐标架旋转($ZXZ$旋转),计算其旋转变换矩阵

  1. 进动${1,2,3}\Rightarrow {1',2',3'=3}$:坐标架绕$z$轴转动$\psi$
    $$
    Q_1=\begin{bmatrix}
    \cos\psi&-\sin\psi&0\\\\
    \sin\psi&\cos\psi&0\\\\
    0&0&1
    \end{bmatrix}
    $$

  2. 章动${1',2',3'}\Rightarrow {1''=1',2'',3''}$:坐标架绕$x$轴转动$\theta$
    $$
    Q_2=\begin{bmatrix}
    1&0&0\\\\
    0&\cos\theta&-\sin\theta\\\\
    0&\sin\theta&\cos\theta
    \end{bmatrix}
    $$

  3. 自转${1'',2'',3''}\Rightarrow {1''',2''',3'''=3''}$:坐标架绕$z$轴转动$\varphi$
    $$
    Q_3=\begin{bmatrix}
    \cos\varphi&-\sin\varphi&0\\\\
    \sin\varphi&\cos\varphi&0\\\\
    0&0&1
    \end{bmatrix}
    $$

分别记坐标架${1,2,3}$与${1’’’,2’’’,3’’’}$的基向量为$\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)$及$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$,自${1,2,3}$至${1’’’,2’’’,3’’’}$三次复合变换
$$
\pmb e=\pmb uQ_1Q_2Q_3\mathop=\limits^\Delta \pmb uQ\\\\
Q=Q_1Q_2Q_3=\begin{bmatrix}
\cos \psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\theta\cos\varphi&\sin\psi\sin\theta\\\\
\sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi&-\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\cos\theta\cos\varphi&-\cos\psi\sin\theta\\\\
\sin\theta\sin\varphi&\sin\theta\cos\varphi&\cos\theta
\end{bmatrix}
$$
对复合变换矩阵$Q$求导,并通过角速度矩阵的关系
$$
Q^T\dot Q=\begin{bmatrix}
0&-\omega_3&\omega_2\\\\
\omega_3&0&-\omega_1\\\\
-\omega_2&\omega_1&0
\end{bmatrix}
$$
可得刚体定点运动的运动学方程(Euler运动学方程)
$$
\left{
\begin{align}
\omega_1&=\dot\psi\sin\theta\sin\varphi+\dot \theta\cos\varphi\\\\
\omega_2&=\dot\psi \sin\theta\cos\varphi-\dot\theta\sin\varphi\\\\
\omega_3&=\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi
\end{align}
\right.
$$
给定三个Euler角可以确定旋转变换矩阵$Q$,也确定了随体坐标架的位置

7.2.3. 四元数表示


$$
q_0=\cos\frac{\theta}{2},\ \ \
q_i=u_i\sin\frac{\theta}{2},\ \ \
i=1,2,3
$$
可使满足条件$u_1^2+u_2^2+u_3^2=1$或$q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$

令$q=(q_1,q_2,q_3)^T$,取旋转变换(Rodrigues公式)
$$
Q=(2q_0^2-1)I+2qq^T-2q_0S(q)
$$
其中$S(q)$是对应$q$的角速度矩阵,可得运动学方程
$$
\begin{bmatrix}
\dot q_0\\\\\dot q
\end{bmatrix}=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
-q^T\\\\q_0I+S(q)
\end{bmatrix}\omega
$$

7.2.4. 定点旋转动力学

image-20200609153922446

对定点$O$ ,取惯性系${x,y,z}$及随体坐标架$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$,考查刚体上一点$P$(第$i$点),其位置矢径
$$
\pmb r_i=\pmb e\begin{bmatrix}\xi_i\\\\\eta_i\\\\\zeta_i
\end{bmatrix},\ \ \
r_i^2=\xi_i^2+\eta_i^2+\zeta_i^2
$$
刚体动量矩
$$
\begin{align}
\pmb H&=\sum\limits_i\pmb r_i\times(m_i\pmb v_i)\\\\
&=\sum\limits_im_i\pmb r_i\times(\pmb\omega\times \pmb r_i)\\\\
&=\sum\limits_im_i(\pmb r_i\cdot\pmb r_i)\pmb \omega-\sum\limits_im_i(\pmb \omega\cdot \pmb r_i)\pmb r_i\\\\
&=\Big(\sum\limits_im_ir_i^2\Big)\pmb \omega-\sum\limits_im_i(\omega_i\xi_i+\omega_2\eta_i+\omega_3\zeta_i)\pmb r_i
\end{align}
$$
动量矩$\pmb H=H_1\pmb e_1+H_2\pmb e_2+H_3\pmb e_3$在随体坐标架上的分量
$$
\begin{align}
\begin{bmatrix}
H_1\\\\H_2\\\\H_3
\end{bmatrix}&=
\begin{bmatrix}
\sum\limits_im_i(\eta_i^2+\zeta_i^2)&-\sum\limits_im_i\xi_i\eta_i&-\sum\limits_im_i\xi_i\zeta_i\\\\
-\sum\limits_im_i\eta_i\xi_i&\sum\limits_im_i(\zeta_i^2+\xi_i^2)&-\sum\limits_im_i\eta_i\zeta_i\\\\
-\sum\limits_im_i\zeta_i\xi_i&-\sum\limits_im_i\zeta_i\eta_i&\sum\limits_im_i(\xi_i^2+\eta_i^2)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\omega_1\\\\\omega_2\\\\\omega_3
\end{bmatrix}\\\\
&\mathop=\limits^\Delta
\begin{bmatrix}
J_{11}&-J_{12}&-J_{13}\\\\
-J_{21}&J_{22}&-J_{23}\\\\
-J_{31}&-J_{32}&J_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\omega_1\\\\\omega_2\\\\\omega_3
\end{bmatrix}
\mathop=\limits^\Delta J\omega
\end{align}
$$
写成向量及矩阵形式
$$
\pmb H=\pmb e(H_1,H_2,H_3)^T=\pmb eJ\omega,\ \ \
\pmb \omega=\pmb e\omega=\pmb e(\omega_1,\omega_2,\omega_3)^T
$$
这里$J$是对称矩阵,称为转动惯量。在刚体转动过程中它是常量(随体坐标下)。相反,若在“定”坐标系中考查转动惯量将是时变的

现在考查不同随体坐标架$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$与$\pmb e’=(\pmb e’_1,\pmb e’_2,\pmb e’_3)$之下,动量矩的表达形式
$$
\pmb H=\pmb e’J'\omega'=\pmb eJ\omega,\ \ \ \
\pmb \omega=\pmb e'\omega'=\pmb e\omega
$$
设有坐标变换(正交)$\pmb e'=\pmb eP$,$P^{-1}=P^T$,从而
$$
\pmb e'\omega'=\pmb eP\omega'=\pmb e\omega\Rightarrow \omega'=P^T\omega\\\\
\pmb e’J'\omega'=\pmb ePJ'\omega'=\pmb ePJ’P^T\omega=\pmb eJ\omega\Rightarrow J'=P^TJP
$$
注意到变换前后的$J$与$J’$是正交相似的,而$J$是对称矩阵,故可正交相似对角化,即存在正交变换$P$使得
$$
P^TJP=\begin{bmatrix}
J_1&0&0\\\\
0&J_2&0\\\\
0&0&J_3
\end{bmatrix}=
\mathrm {diag}{J_1,J_2,J_3}
$$
如果转动惯量在某随体坐标架下成为对角矩阵,称该坐标架为惯性主轴。若设$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$即为惯性主轴,则动量矩为
$$
\pmb H=J_1\omega_1\pmb e_1+J_2\omega_2\pmb e_2+J_3\omega_3\pmb e_3
$$
image-20200609163451349

现在讨论绕某一轴$\overrightarrow{OA}$(方向)的转动惯量,取单位矢量

$$
\pmb e_1'=\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}
$$

它与原坐标架$(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$的方向余弦为$\cos\alpha$,$\cos\beta$,$\cos\gamma$

补充单位向量$\pmb e_2'$和$\pmb e_3'$,使得$\pmb e’=(\pmb e’_1,\pmb e’_2,\pmb e’_3)$ 构成右手直角坐标架,由$\pmb e$到$\pmb e'$的变换矩阵为

$$
P=\begin{bmatrix}
\cos\alpha&\odot&\odot\\\\
\cos\beta&\odot&\odot\\\\
\cos\gamma&\odot&\odot
\end{bmatrix}
$$

绕某一轴$\overrightarrow{OA}$即$\pmb e'_1$的转动惯量

$$
\begin{align}
J_{OA}&=J_{11}'=\sum\limits_{i,j}(P^T)_{1i}(J)_{ij}(P)_{j1}=\begin{bmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\end{bmatrix}J\begin{bmatrix}\cos\alpha\\\\\cos\beta\\\\\cos\gamma\end{bmatrix}\\\\
&=J_{11}\cos^2\alpha+J_{22}\cos^2\beta+J_{33}\cos^2\gamma-2J_{12}\cos\alpha\cos\beta-2J_{23}\cos\beta\cos\gamma-2J_{31}\cos\gamma\cos\alpha
\end{align}
$$

以$x=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{J_{OA}}}$,$y=\frac{\cos\beta}{\sqrt{J_{OA}}}$,$z=\frac{\cos\gamma}{\sqrt{J_{OA}}}$为参变量,上述方程成为椭球方程

$$
J_{11}x^2+J_{22}y^2+J_{33}z^2-2J_{12}xy-2J_{23}yz-2J_{31}zx=1
$$

image-20200609164512016

椭球面上每点$A$到原点$O$的距离与刚体对轴$\overrightarrow{OA}$的转动惯量的平方根成反比,称之为惯量椭球
显然,椭球的三个主轴即为中心惯性主轴

7.2.5. 刚体定点转动的动能

$$
\begin{align}
T&=\frac{1}{2}\sum\limits_im_iv_i^2=\frac{1}{2}\sum\limits_im_i(\pmb \omega\times \pmb r_i)\cdot \pmb v_i\\\\
&=\frac{1}{2}\sum\limits_i m_i\pmb \omega\cdot (\pmb r_i\times \pmb v_i)=\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \sum\limits_i\pmb r_i\times (m_i\pmb v_i)\\\\
&=\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \pmb H=\frac{1}{2}\omega^TJ\omega
\end{align}
$$

由于能量(二次型)非负,可知转动惯量$J $为半正定对称矩阵。
如果取惯性主轴,则有
$$
T=\frac{1}{2}J_1\omega_1^2+\frac{1}{2}J_2\omega_2^2+\frac{1}{2}J_3\omega_3^2
$$

7.2.6. 刚体定点运动的动力学方程

image-20200609165101653

在随体坐标架下的动量矩定理
$$
\pmb L=\frac{\mathrm d\pmb H}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb H
$$
其中$\pmb L=\pmb e(L_1,L_2,L_3)^T=\pmb eL$为刚体上的主矩,而动量矩为$\pmb H=\pmb e(H_1,H_2,H_3)^T=\pmb eH=\pmb eJ\omega$,相对导数为
$$
\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H}{\mathrm dt}=\pmb e_1\dot H_1+\pmb e_2\dot H_2+\pmb e_3\dot H_3=\pmb e(\dot H_1,\dot H_2,\dot H_3)^T=\pmb e\dot H
$$
随体导数可写为
$$
\pmb \omega\times \pmb H=\pmb eS(\omega)H=\pmb eS(\omega)J\omega
$$
于是动量矩定理表述为
$$
\dot H+S(\omega)H=L
$$

$$
J\dot\omega+S(\omega)J\omega=L
$$
写成分量形式的动力学方程:
$$
\left{
\begin{matrix}
\dot H_1+\omega_2H_3-\omega_3H_2=L_1\\\\
\dot H_2+\omega_3H_1-\omega_1H_3=L_2\\\\
\dot H_3+\omega_1H_2-\omega_2H_1=L_3
\end{matrix}
\right.
$$
如果随体坐标架取在惯性主轴上,则可简化为
$$
\left{
\begin{matrix}
J_1\dot\omega_1+(J_3-J_2)\omega_2\omega_3=L_1\\\\
J_2\dot\omega_2+(J_1-J_3)\omega_3\omega_1=L_2\\\\
J_3\dot\omega_3+(J_2-J_1)\omega_1\omega_2=L_3
\end{matrix}
\right.
$$
刚体定点运动的Euler动力学方程是3个非线性微分方程,再加上3个Euler运动学方程,一共6个微分方程,如果刚体给定了外力,就可求解6个未知量$\psi,\theta,\varphi,\omega_1,\omega_2,\omega_3$

7.2.7. 刚体定点运动的动能定理

考查动能变化率
$$
\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\omega^TJ\omega)=\frac{1}{2}(\dot\omega^TJ\omega+\omega^TJ\dot\omega)=\omega^TJ\dot\omega
$$
注意到力矩做功(功率)
$$
\pmb \omega\cdot \pmb L=\omega^TL=\omega^T(J\dot\omega+S(\omega)J\omega)=\omega^TJ\dot\omega
$$
于是主矩做功的功率等于动能变化率,即动能定理
$$
\pmb \omega\cdot\pmb L=\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}
$$

7.2.8. Euler动力学方程的首次积分

刚体定点运动Euler动力学微分方程一般求解比较困难,但在一些特殊场合可获得首次积分从而使微分方程降价。如果没有外力矩$L=0$,比如重刚体绕其质心作定点运动, Euler动力学方程转化为

$$
\begin{matrix}
J_1\dot\omega_1+(J_3-J_2)\omega_2\omega_3=0&\times \omega_1&\times J_1\omega_1\\\\
J_2\dot\omega_2+(J_1-J_3)\omega_3\omega_1=0&\times \omega_2&\times J_2\omega_2\\\\
J_3\dot\omega_3+(J_2-J_1)\omega_1\omega_2=0&\times \omega_3&\times J_3\omega_3
\end{matrix}
$$

上式左右两边同乘角速度及动量矩,然后三式相加,得到

$$
\begin{align}
J_1\dot\omega_1\omega_1+J_2\dot\omega_2\omega_2+J_3\dot\omega_3\omega_3&=0\Longrightarrow
J_1\omega_1^2+J_2\omega_2^2+J_3\omega_3^2=const\ \ \ \ (机械能守恒)\\\\
J_1^2\dot\omega_1\omega_1+J_2^2\dot\omega_2\omega_2+J_3^2\dot\omega_3\omega_3&=0\Longrightarrow
J_1^2\omega_1^2+J_2^2\omega_2^2+J_3^2\omega_3^2=const\ \ \ \ (动量矩大小守恒)
\end{align}
$$

边二式分别表示了机械能守恒与动量矩大小守恒(动量矩矢量不一定守恒),这样一来,运动学与动力学微分方程组从6阶降为4阶

7.3.刚体一般运动的动力学

image-20200609175243365

在原点处于$A$的“定”(惯性)坐标架$\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3) $,以及原点处于$O$的“动”坐标架$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$中研究运动

类似有正交变换
$$
\pmb e=\pmb uQ,\ \ \ \ \pmb u=\pmb eQ^T\\\\
\dot{\pmb e}=\pmb eQ^T\dot Q=\pmb \omega\times \pmb e
$$
其中$\pmb \omega$是“动”系相对于“定”系的角速度矢量,对矢径为$\pmb r$的点$P$, 考查其速度及其分解
$$
\begin{align}
\pmb r&=\pmb r_o+\pmb r'\\\\
\pmb v&=\dot{\pmb r}=\dot{\pmb r}_o+\dot{\pmb r}'=\pmb v_o+\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb r'}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times\pmb r'\\\\
&=\pmb v_r+\pmb v_o+\pmb \omega\times \pmb r'=\pmb v_r+\pmb v_e
\end{align}
$$
其中,$\pmb v$为绝对速度,$\pmb v_r=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb r'}{\mathrm dt}$为相对速度,$\pmb v_e$为牵连速度

考查加速度及其分解
$$
\begin{align}
\pmb a&=\dot{\pmb v}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb v_r}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb v_r+\frac{\mathrm d\pmb v_o}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm d\pmb\omega}{\mathrm dt}\times\pmb r'+\pmb \omega\times \frac{\mathrm d\pmb r'}{\mathrm dt}\\\\
&=\pmb a_r+\pmb \omega\times\pmb v_r+\pmb a_o+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb v_r+\pmb\omega\times\pmb r')\\\\
&=\pmb a_r+\pmb a_0+\pmb\varepsilon\times \pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')+2\pmb\omega\times \pmb v_r\\\\
&=\pmb a_r+\pmb a_e+\pmb a_c
\end{align}
$$
其中,$\pmb a$为绝对加速度,$\pmb a_r$为相对加速度,$\pmb a_e=\pmb a_0+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb\omega\times\pmb r')$为牵连加速度,$\pmb a_c=2\pmb \omega\times \pmb v_r$为哥式加速度

其中角加速度
$$
\pmb \varepsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb \omega}{\mathrm dt}+\pmb\omega\times \pmb \omega=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb \omega}{\mathrm dt}=\pmb e\dot\omega
$$
特别地,如果坐标架${O,\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3}$固连在刚体上,则刚体上一点的速度、加速度有
$$
\begin{align}
\pmb v&=\pmb v_o+\pmb \omega\times \pmb r'\mathop=\limits^\Delta \pmb v_e\\\\
\pmb a&=\pmb a_o+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')\mathop=\limits^\Delta \pmb a_e
\end{align}
$$
image-20200609181355366

现对一般运动刚体取惯性参考系${A,\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3}$以及原点在质心$C$的随体坐标架${ C,\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3}$,讨论刚体上任一点$P$的运动
$$
\pmb r_i=\pmb r_c+\pmb r_i'
$$
设刚体质量为$M$,对刚体质心$C$有关系式
$$
\begin{align}
&\sum\limits_im_i\pmb r_i=M\pmb r_C,\ \ \ \
\sum\limits_im_i\pmb r_i=\sum\limits_im_i\pmb r_c+\sum\limits_{i}m_i\pmb r_i'=M\pmb r_c+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\\\\
&\sum\limits_i m_i\pmb r_i'=0,\ \ \ \
\sum\limits_im_i\pmb v_i=\sum\limits_im_i\dot{\pmb r_i}=M\dot{\pmb r}_c=M\pmb v_c
\end{align}
$$
得出合力(主矢)与质心加速度的关系
$$
\pmb R=\sum\limits_im_i\ddot{\pmb r}_i=M\ddot{\pmb r}_c=M\pmb a_c
$$
对固定点$A$,有动量矩定理
$$
\pmb L_A=\frac{\mathrm d\pmb H_A}{\mathrm dt},\ \ \ \ \pmb L_A=\pmb L_c+\pmb r_c\times \pmb R
$$
计算动量矩及其变化率
$$
\begin{align}
\pmb H_A&=\sum\limits_i\pmb r_i\times (m_i\pmb v_i)\\\\
&=\sum\limits_i\pmb r_c\times(m_i\pmb v_i)+\sum\limits_i\pmb r'_i\times (m_i(\pmb v_c+\pmb\omega\times\pmb r_i'))\\\\
&=\pmb r_c\times(M\pmb v_c)+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\times \pmb v_c+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\times(\pmb\omega\times \pmb r_i')\\\\
&=\pmb r_c\times (M\pmb v_c)+\pmb H_c\\\\
\frac{\mathrm d\pmb H_A}{\mathrm dt}&=\dot{\pmb r}_c\times (M\pmb v_c)+\pmb r_c\times (M\dot{\pmb v_c})+\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}\\\\
&=\pmb r_c\times (M\pmb a_c)+\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}
\end{align}
$$
由此得出绕质心转动的动力学
$$
\pmb L_c=\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H_c}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb H_c
$$
利用$\pmb \omega=\pmb e\omega$,$\pmb L_c=\pmb eL_c$,$\pmb H_c=\pmb eH_c=\pmb eJ_c\omega$,可以写成矩阵形式
$$
\dot H_c+S(\omega)H_c=L_c
$$

$$
J_c\dot\omega+S(\omega)J_c\omega=L_c
$$
可以证明刚体一般运动的动能
$$
T=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \pmb H_c=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}\omega^TJ_c\omega
$$
刚体的一般运动,可以用质心平动动力学、绕质心转动动力学、运动学(如前面的Euler运动学)等方程来刻画,共有9个标量微分方程,原则上可以求解包括质心位置、姿态角、角速度等9个未知标量$x_c,y_c,z_c,\psi,\theta,\varphi,\omega_1,\omega_2,\omega_3$

两类问题:

  • 已知力求运动(解动力学微分方程)
  • 已知(期望)运动求力(控制问题)

7.4. 非惯性系动力学

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现取惯性参考系${A,\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3}$以及非惯性系坐标架${ O,\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3}$,考查质量为$m$之质点的动力学
$$
m\pmb a=\pmb F+\pmb N
$$
其中$\pmb F$为主动力,$\pmb N$为被动力(约束力),加速度有分解式
$$
\begin{align}
\pmb a&=\pmb a_r+\pmb a_e+\pmb a_c\\\\
&=\pmb a_r+\pmb a_o+\pmb \varepsilon\times \pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')+2\pmb \omega\times\pmb v_r
\end{align}
$$
其中,$\pmb a_r$为相对加速度,$\pmb a_e=\pmb a_o+\pmb \varepsilon\times\pmb r'+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\pmb r')$ 为牵连加速度,$\pmb a_c=2\pmb\omega\times\pmb v_r$为哥式加速度,$\pmb \omega$与$\pmb \varepsilon$分别为非惯性系相对于惯性系的角速度与角加速度

于是有相对运动的动力学方程
$$
m\pmb a_r=\pmb F+\pmb N+\pmb S_e+\pmb S_c
$$
这里,$\pmb S_e=-m\pmb a_e$称为牵连惯性力,$\pmb S_c=-m\pmb a_c$称为哥式惯性力,而
$$
\pmb a_r=\frac{\tilde{\mathrm d}^2\pmb r'}{\mathrm dt^2}=\begin{bmatrix}\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot x\\\\\ddot y\\\\\ddot z\end{bmatrix}
$$
其中$(x,y,z)$是非惯性系中的坐标(相对坐标)

8. 达朗伯原理

意义: 用静力学的力系平衡条件来处理动力学问题

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考查质量为$m$的质点的动力学方程
$$
m\pmb a=\pmb F+\pmb N
$$
其中$\pmb F$为主动力,$\pmb N$为被动力(约束力),定义惯性力
$$
\pmb S=-m\pmb a
$$
则有力系平衡方程
$$
\pmb F+\pmb N+\pmb S=\pmb 0
$$
对于由$n$个质点组成的质点系,其达朗伯原理为
$$
\pmb F_k+\pmb N_k+\pmb S_k=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n
$$
这里,$\pmb S_k=-m_k\pmb a_k$是第$k$个质点的惯性力。这里达朗伯引入的惯性力,不能在同一的非惯性坐标架中描述, 可称之为达朗伯惯性力

对于一般刚体运动,可通过质点系力平衡方程相加和力矩平衡方程相加, 消除内力影响只留下外约束力, 刚体达朗伯原理表示为
$$
\pmb R_F+\pmb R_N+\pmb R_S=\pmb 0\\\\
\pmb L_{FO}+\pmb L_{NO}+\pmb L_{SO}=\pmb 0
$$
其中惯性力主矢和惯性力主矩分别为
$$
\pmb R_S=-\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt},\ \ \
\pmb L_{SO}=-\frac{\mathrm d\pmb H_O}{\mathrm dt}
$$
这里$O$为固定点

image-20200610005132768

对质心$C$取矩的刚体运动达朗伯原理为
$$
\pmb R_F+\pmb R_N+\pmb R_S=\pmb 0\\\\
\pmb L_{FC}+\pmb L_{NC}+\pmb L_{SC}=\pmb 0
$$
这里惯性力主矢和惯性力主矩分别为
$$
\pmb R_S=-M\pmb a_c, \ \ \
\pmb L_{SC}=-\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}=-\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H_c}{\mathrm dt}-\pmb \omega\times\pmb H_c
$$
其中$\pmb \omega=\pmb e\omega$,$\pmb H_c=\pmb eJ_c\omega$

特别地,平面运动刚体的惯性力主矢和惯性力主矩分别为

$$
\pmb R_ S=-M\pmb a_ c=-M(\ddot{x}_ c\ \ \ddot y_ c\ \ 0),\ \ \
\pmb L_ {SC}=-(0\ \ 0\ \ J_ c\varepsilon)^T
$$

其中$\varepsilon=\dot\omega$为角加速度

image-20200610005558313

考查三维空间作一般运动的刚体,如果刚体所受的外力(包括主动力与被动力)在点$A$简化成主矢$\pmb R_A$与主矩$L_A$,在质心$C$处有惯性力$\pmb R_S$和惯性力矩$\pmb L_{SC}$,则“平衡方程”为

$$
\begin{cases}
\pmb R_A+\pmb R_S=\pmb 0\\\\
\overrightarrow{CA}\times\pmb R_A+\pmb L_A+\pmb L_{SC}=\pmb 0
\end{cases}
$$

其中力矩方程是对质心$C$取矩的

如果对另一点$B$取矩,将有

$$
\begin{align}
&\overrightarrow{BA}\times\pmb R_A+\overrightarrow{BC}\times\pmb R_S+\pmb L_A+\pmb L_{SC}\\\\
=&(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})\times\pmb R_A+\overrightarrow{BC}\times\pmb R+\pmb L_A+\pmb L_{SC}\\\\
=&\overrightarrow{BC}\times (\pmb R_A+\pmb R_S)+\overrightarrow{CA}\times\pmb R_A+\pmb L_A+\pmb L_{SC}=\pmb 0
\end{align}
$$

可见对“平衡”力系来说,对任一点$B$取矩与对质心$C$取矩是等价的

9. 虚位移原理

9.1. 虚位移

考查三维空间中含有$n$个质点、$k$个约束的质点系,它需$3n-k$个独立变量去刻画质点系的状态,即其自由度数为$m=3n-k$个。记第$i$个质点的位置矢径

$$
\pmb r_i=\pmb e\begin{bmatrix}x_i&y_i&z_i\end{bmatrix}^T,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
$$

通常约束方程可以表示为下面几种情形

$$
\begin{align}
f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n)=0&\Longrightarrow 定常、完整、双面\\\\
f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n,t)=0&\Longrightarrow 非定常(显含时间t)\\\\
f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,\dot x_l,\cdots,x_n,y_n,z_n,)=0&\Longrightarrow非完整(含不可积速度约束)\\\\
f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n,t)\leq0(\geq 0)&\Longrightarrow单面(不等式约束)
\end{align}
$$

对于含有$n$个质点、 $k$个约束的质点系,其自由度数为$m=3n-k$个,原则上可以通过求解约束代数方程(完整、双面约束),最后归结为可用$m$个独立变量去刻画它的瞬时状态,这些独立变量记作广义坐标$q=(q_1,q_2,\cdots,q_m)^T$,质点系每一质点的位置可表示为

$$
x_i=x_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \
y_i=y_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\
z_i=z_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t)\\\\
\pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
$$

考查约束所容许的“无限小”位移

$$
\begin{align}
&f_j(\cdots,x_i,y_i,z_i,\cdots,t)=0\\\\
&f_j(\cdots,x_i+\Delta x_i,y_i+\Delta y_i,z_i+\Delta z_i,\cdots,t+\Delta t)=0
\end{align}
$$

利用Taylor展开,保留线性部分(略去高阶小量),得到微分形式

$$
\frac{\partial f_j}{\partial t}\mathrm dt+\sum\limits_{i=1}^n\Big(\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i+\frac{\partial f_i}{\partial y_i}\mathrm dy_i+\frac{\partial f_i}{\partial z_i}\mathrm dz_i \Big)=0
$$

考虑“时间凝固”的位移增量(等时变分)

$$
\mathrm dt\Rightarrow 0,\ \ \ \ (\mathrm dx_i,\mathrm dy_i,\mathrm dz_i)\Rightarrow (\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i)\\\\
\sum\limits_{i=1}^n\Big(\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm \delta x_i+\frac{\partial f_i}{\partial y_i}\mathrm \delta y_i+\frac{\partial f_i}{\partial z_i}\mathrm \delta z_i \Big)
$$

其中,

$$
\begin{align}
&(\mathrm dx_i,\mathrm dy_i,\mathrm dz_i)&满足约束条件的位移微分\\\\
&(\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i)&满足约束条件的位移等时变分
\end{align}
$$

如果约束是定常的,位移微分与位移等时变分是一致的。通常真实运动产生的位移称为实位移,它既满足动力学微分方程和初始条件,又满足约束方程,“无限小”的实位移常记成位移微分; 仅满足约束方程的位移称为约束容许位
,在同一时刻两个“无限小”容许位移之差可称为虚位移,实际上就是位移等时变分

由独立广义坐标的变分(虚位移)引起位置矢径的增量(变分)

$$
\begin{align}
\delta \pmb r_i&=\pmb r_i(\cdots,q_l+\delta q_l,\cdots,t)-\pmb r_i(\cdots,q_l,\cdots,t)\\\\
&=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j+O(|\delta q|^2)=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j
\end{align}
$$

9.2. 力在虚位移上做的功

现在探讨力在虚位移上做的功。设由$n$个质点组成的质点系中第$i$个质点上有作用力$F_i$,则所有力在相应虚位移上作的元功之和(总虚功)为

$$
\delta W=\sum\limits_i\delta W_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i
$$

用广义坐标变分来表示

$$
\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum\limits_{j=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\delta q_j\mathop=\limits^\Delta \sum\limits_{j=1}^mQ_j\delta q_j
$$

其中广义力为

$$
Q_j=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j},\ \ \
j=1,2,\cdots,m
$$

广义力的量纲取决于广义坐标的量纲, 广义力乘以广义坐标的量纲总归是功的量纲

9.3. 约束力做功的问题

9.3.1. 纯滚动(只滚不滑)

image-20200610103010830

约束力不做功,半径为$R$的轮子与地面接触点$C$的坐标为

$$
\begin{cases}
x_C=R\varphi-R\sin\varphi\\\\
y_C=R-R\cos\varphi
\end{cases}
$$

其中转角$\varphi$为广义坐标,求变分

$$
\begin{cases}
\delta x_C|_ {\varphi=0}=(1-\cos\varphi)R\delta \varphi|_ {\varphi=0}=0\\\\
\delta y_C|_ {\varphi=0}=\sin\varphi R\delta \varphi|_ {\varphi=0}=0
\end{cases}
$$

纯滚动约束力总虚功:$\delta W=N_x\cdot \delta x_C+N_y\cdot\delta y_C=0$

纯滚动时轮地接触点瞬时速度为零(无滑动),轮心位移及速度为

$$
x_O=R\varphi,\ \ v_O=R\omega
$$

9.3.2. 理想约束

image-20200610103603768

质点系所受的约束力在任意虚位移上做功之和为零,即

$$
\sum\limits_i\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0
$$

光滑铰链约束、光滑地面约束、 绳索约束、纯滚动约束都是理想约束

在定常约束下,实位移也是虚位移之一。 对于非定常约束,如变长度单摆,其虚位移(等时变分)保持与拉力垂直,所做虚功为零,而实位移完全可能不与拉力垂直,所做实功不一定为零。变长度单摆约束仍然是理想约束

9.4. 虚位移(虚功)原理

具有定常、理想约束的质点系保持静止的充要条件是:所有主动力在质点系任何虚位移上所做的总虚功(虚功之和) 为零

证明:

必要性:含有$n$个质点组成的质点系保持静止,满足力系平衡条件

$$
\pmb F_i+\pmb N_i=\pmb 0,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
$$

其中$\pmb F_i$为第$i$个质点上的主动力,而$\pmb N_i$为约束力

上式两边同乘第$i$个质点上的虚位移,并求和,得到

$$
\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i+\pmb N_i)\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i+\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0
$$

由于约束是理想的,故约束力在任意虚位移上做功之和为零,即

$$
\sum\limits_i\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0
$$

因此主动力总虚功也为零

$$
\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i=0
$$

充分性:采用反证法,设主动力总虚功为零,但质点系由静止进入运动。这样质点系动能由零增为大于零,即有动能定理

$$
\mathrm dT=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i+\pmb N_i)\cdot \mathrm d\pmb r_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_i+\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \mathrm d\pmb r_i>0
$$

其中位移微分$\mathrm d\pmb r_i$为实位移,因约束是定常的(实际上,若为非定常,只要虚位移能取到实位移即可), 实位移可作为虚位移之一,现取变分$\delta \pmb r_i=\mathrm d\pmb r_i,\ \ i=1,2,\cdots,n$,而理想约束虚功之和为零,得到

$$
\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i>0
$$

这与主动力虚功之和为零矛盾,得证

对于定常、完整、理想约束,利用独立广义坐标$q_1,q_2,\cdots,q_m$表述虚位移原理:质点系保持静止的条件是所有广义力为零

$$
\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^mQ_j\delta q_j\xrightarrow[\delta q_1,\cdots,\delta q_m相互独立]{\delta W=0}Q_j=0,\ \ j=1,2,\cdots,m
$$

这里“保持静止”是指原先静止并在主动力作用下仍然保持静止,这个条件不可减少,比如光滑地面上一个质点由一绳牵拉做匀速圆周运动(非平衡状态),但总虚功为零。

9.4.1. 虚位移原理的应用

杠杆原理

image-20200610104746030

考查杠杆在水平位置的平衡,支承点铰链是理想约束,利用虚位移原理
$$
\delta W=F_1\delta y_1+F_2\delta y_2=0
$$
杠杆具有一个自由度, 虚位移在水平位置应满足约束条件
$$
\delta y_1/l_1+\delta y_2/l_2=0
$$
由此可得
$$
F_1l_1=F_2l_2
$$
刚体平衡方程

image-20200610104911973

刚体作为特殊的质点系,其内力约束为理想约束,设刚体上第$i$点的主动力与外约束反力的合力为$F_i$,取刚体中某点$A$为基点,刚体上任一点的“无限小”位移由随基点$A$的平动和绕基点$A$的无限小转动合成。 刚体为$6$自由度
$$
\pmb r_i=\pmb r_A+\pmb r_i'\\\\
\delta \pmb r_i=\delta \pmb r_A+\delta \pmb \varphi\times \pmb r_i'
$$
虚功原理给出
$$
\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta\pmb r_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot (\delta \pmb r_A+\delta\pmb \varphi\times\pmb r_i')=\Big(\sum\limits_i\pmb F_i \Big)\cdot\delta \pmb r_A+\Big(\sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i \Big)\cdot \delta \pmb \varphi=0
$$
由虚位移$\delta\pmb r_A$,$\delta \pmb \varphi$的独立性,即得平衡方程
$$
\sum\limits_i\pmb F_i=\pmb 0,\ \ \sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i=\pmb 0
$$

9.5. 势能原理

一个有势力(保守力)可以表示为一个标量函数的梯度
$$
\pmb F=-\nabla U=-\Big(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z} \Big)
$$
其中$U$为势能函数

如果质点系中所有主动力均有同一势能函数,则虚功为
$$
\begin{align}
\delta W&=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_i(F_{ix}\delta x_i+F_{iy}\delta y_i+F_{iz}\delta z_i)\\\\
&=-\sum\limits_i\Big(\frac{\partial U}{\partial x_i}\delta x_i+\frac{\partial U}{\partial y_i}\delta y_i+\frac{\partial U}{\partial z_i}\delta z_i \Big)=-\delta U
\end{align}
$$
**势能原理:** 具有定常、理想约束的质点系在有势力场中保持静止的充要条件是势能函数的一阶变分为零(势能函数取驻值),即$\delta U=0$

用广义坐标表示势能函数(完整约束)
$$
U=U(q_1,q_2,\cdots,q_m)
$$
则有
$$
\delta U=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial U}{\partial q_j}\delta q_j=0\Longrightarrow \frac{\partial U}{\partial q_j}=0\Big(Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}\Big),j=1,2,\cdots,m
$$
于是在有势力场中的虚位移原理(势能原理)可表示为
$$
\delta W=0\Longleftrightarrow \delta U=0\Longleftrightarrow \frac{\partial U}{\partial q_j}=0,\ \ j=1,2,\cdots,m
$$
有势力场中保持静止(平衡)当且仅当势能取驻值,而稳定平衡意味着势能在平衡点取极小值,即在平衡点有
$$
\delta U=0,\ \ \delta^2U>0
$$
这里引入了二阶变分$\delta ^2U$,而它大于零对应着Hessian矩阵$\Big(\frac{\partial ^2 U}{\partial q_i\partial q_j}\Big)_{m\times m}$正定

10. 拉格朗日/哈密顿力学

10.1. 动力学普遍方程

对于由$n$个质点组成的质点系,其达朗伯原理为
$$
\pmb F_k+\pmb N_k+\pmb S_k=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n
$$
这里$\pmb F_k$为主动力,$\pmb N_k$为被动力(约束力),$\pmb S_k=-m_k\pmb a_k$是第$k$个质点的惯性力

质点系动力学问题已转化为力系平衡问题,如果约束是定常和理想的,利用虚位移原理则有
$$
\delta W=\sum\limits_i(\pmb F_i+\pmb N_i+\pmb S_i)\cdot\delta \pmb r_i\\\\
\xrightarrow[]{\sum\limits_i\pmb N_i\cdot\delta \pmb r_i=0}\sum\limits_i(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot\delta \pmb r_i=0
$$
上述方程称为达朗伯—拉格朗日方程,也称动力学普遍方程。一般地,对于具有理想约束的质点系,动力学普遍方程总是成立的

现在引入广义坐标,进一步考查动力学普遍方程。设质点系有$n$个质点、 $m$个自由度,广义坐标为$q_1,q_2,\cdots,q_m$。对于完整约束,每个质点的矢径可表为
$$
\pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
$$
它的等时变分为
$$
\delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
$$
现在来逐项研究动力学普遍方程
$$
\sum\limits_i(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i=0
$$
利用广义坐标及其变分来分析
$$
\sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot \delta \pmb r_i
$$
注意到
$$
\pmb v_i=\dot{\pmb r}_i=\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}+\sum\limits_j\frac{\partial\pmb r_i}{\partial q_j}\dot q_j
$$
其中,$\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_m$称为广义速度,再求导
$$
\frac{\partial \pmb v_i}{\partial \dot q_j}=\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}
$$
考虑到
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j} \Big)=\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial t\partial q_j}+\sum\limits_k\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial q_k\partial q_j}\dot q_k\\\\
\frac{\partial }{\partial q_j}\Big(\frac{\mathrm d\pmb r_i}{\mathrm dt}\Big)=\frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}=\frac{\partial ^2\pmb r_i}{\partial q_j\partial t}+\sum\limits_k\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial q_j\partial q_k}\dot q_k
$$
假定系统是光滑的,那么二阶混合导数是可交换的,于是得到下式的交换性

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)=\frac{\partial }{\partial q_j}\Big(\frac{\mathrm d\pmb r_i}{\mathrm dt}\Big)=\frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}
$$

可得

$$
\begin{align}
\sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot \delta \pmb r_i&=\sum\limits_im_i\dot{\pmb v}_i\cdot\delta \pmb r_i\\\\
&=\sum\limits_i\Big(m_i\dot{\pmb v}_i\cdot \sum\limits_j\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j\Big)=\sum\limits_j\Big(\sum\limits_im_i\dot{\pmb v}_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\delta q_j
\end{align}
$$

其中

$$
\begin{align}
m_i\dot{\pmb v}_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(m_i\pmb v_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)-m_i\pmb v_i\cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\\\\
&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(m_i\pmb v_i\cdot\frac{\partial \pmb v_i}{\partial \dot q_j}\Big)-m_i\pmb v_i\cdot \Big(\frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}\Big)\\\\
&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial }{\partial \dot q_j}\Big(\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot\pmb v_i\Big)-\frac{\partial }{\partial q_j}\Big(\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot\pmb v_i\Big)
\end{align}
$$

令动能

$$
T=\sum\limits_i\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot \pmb v_i=\sum\limits_i\frac{1}{2}m_iv_i^2
$$

则有

$$
\sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_j\Big[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial T}{\partial q_j}\Big]\delta q_j
$$

将主动力虚功用广义力虚功来表示

$$
\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\sum\limits_j\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum\limits_j\Big(\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\delta q_j=\sum\limits_jQ_j\delta q_j
$$

得到

$$
\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^m\Big[Q_j-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)+\frac{\partial T}{\partial q_j}\Big]\delta q_j=0
$$

由于变分$\delta q_1,\delta q_2,\cdots,\delta q_m$的独立性,得到第二类拉格朗日方程

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j,\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m
$$

拉格朗日方程描述了具有理想、完整约束的质点系的动力学规律

拉格朗日方程由$m$个二阶常微分方程组成, 可以求解描述质点系(包括刚体)状态的广义坐标随时间的变化规律

10.2. 拉格朗日函数与哈密顿函数

10.2.1. 拉格朗日函数

如果主动力有势,即存在势能函数(与广义速度无关)

$$
U=U(q_1,q_2,\cdots,q_m,t)
$$

使得广义力

$$
Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m
$$

则前述拉格朗日方程可改写成(保守力场)

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=0,\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m
$$

其中定义$L=T-U$,$L=L(q_1,\cdots,q_m,\dot q_1,\cdots,\dot q_m,t)$称为拉格朗日函数

这是具有理想、完整约束、主动力有势的一般质点系的动力学方程

10.2.2. 广义动量

对于拉格朗日函数$L=L(q_1,\cdots,q_m,\dot q_1,\cdots,\dot q_m,t)$

定义广义动量
$$
p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\mathop=\limits^\Delta L=p_j(q_1,\cdots,q_m,\dot q_1,\cdots,\dot q_m,t)\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m
$$
现在考虑能否从上面方程中反解出广义速度$\dot q_1,\cdots,\dot q_m$
$$
\dot q_j=\dot q_j(q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m,t),\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m
$$
根据隐函数定理,若下面导函数矩阵
$$
\Big(\frac{\partial ^2L}{\partial \dot q_i\partial \dot q_j}\Big){m\times m}=\Big(\frac{\partial ^2T}{\partial \dot q_i\partial \dot q_j}\Big){m\times m}
$$
非奇异,即可解出广义速度。实际上该条件可满足,因为动能具正定性

其中$q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m$称为哈密顿正则变量

10.2.3. 哈密顿函数

现定义哈密顿函数(广义能量)
$$
H=\sum\limits_jp_j\dot q_j-L=\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j-L
$$
对上式微分,得
$$
\begin{align}
\mathrm dH&=\sum\limits_jp_j\mathrm d\dot q_j+\sum\limits_j\dot q_j\mathrm dp_j-\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial q_j}\mathrm dq_j-\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\mathrm d\dot q_j-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm dt\\\\
&=\sum\limits_j\dot q_j\mathrm dp_j-\sum\limits_j\dot p_j\mathrm dq_j-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm dt
\end{align}
$$
将哈密顿函数看成广义坐标、广义动量和时间的函数,并作全微分,则有
$$
H=H(q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m,t),\ \ \ \
\mathrm dH=\sum\limits_j\frac{\partial H}{\partial q_j}\mathrm dq_j+\sum\limits_j\frac{\partial H}{\partial p_j}\mathrm dp_j+\frac{\partial H}{\partial t}\mathrm dt
$$
比较两个微分表达式,就有
$$
\begin{cases}
\dot q_j=\frac{\partial H}{\partial p_j}\\\\
\dot p_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j}
\end{cases}
$$
其中$j=1,2,\cdots,m$,且$\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$

上式为哈密顿正则方程,它是$2m$个一阶微分方程

哈密顿正则方程的解(系统运动轨迹)可以表示为$2m$维空间的一条时间参数曲线,在某一瞬间系统状态为该曲线上的一个点(相点),这个$2m$维空间常称为相空间(状态空间),系统运动轨迹称为相轨迹。相点的运动速度与运动轨迹相切。如果自由度为$1$,相空间就是一个二维相平面

image-20200610150405369

如果部分主动力有势,广义力可以分解为
$$
Q_j=Q_j'-\frac{\partial U}{\partial q_j},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m
$$
其中$Q_j'$为非保守广义力,则拉格朗日方程可写成
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\Big)-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j', \ \ \ \ j=1,2,\cdots,m
$$
哈密顿正则方程可写成
$$
\begin{cases}
\dot q_j=\frac{\partial H}{\partial p_j}\\\\
\dot p_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j}+Q_j'
\end{cases}
$$
其中$j=1,2,\cdots,m$

10.2.4. 一般质点系的动能

下面计算一般质点系的动能,第$i$个点的位置与速度为

$$
\begin{align}
\pmb r_ i&=\pmb r_ i(q_ 1,q_ 2,\cdots,q_ m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n\\\\
\pmb v_ i&=\dot{\pmb r}_i=\frac{\partial \pmb r_ i}{\partial t}+\sum\limits_ {j=1}^m\frac{\partial \pmb r_ i}{\partial q_ j}\dot q_ j,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n
\end{align}
$$

质点系动能

$$
\begin{align}
T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot \pmb v_i\\\\
&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}+\sum\limits_{j=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\dot{\pmb q}_j+\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_k}\Big)\dot q_j\dot q_k\\\\
&\mathop=\limits^\Delta T_0+T_1+T_2
\end{align}
$$

其中$T_2$为关于 的二次型。如果系定常约束,可选择广义坐标使$\pmb r_i$不显含$t$,这时就有$T_0=0$, $T_1=0$,而$T=T_2$

由于动能总是大于等于零,动能恒为零对应质点系静止,所以矩阵
$$
\Big(\frac{\partial ^2T}{\partial \dot q_i\partial \dot q_j}\Big)_{m\times m}
$$
为正定对称矩阵。考虑到
$$
\sum\limits_j\frac{\partial T_1}{\partial \dot q_j}\dot q_j=T_1,\ \ \ \
\sum\limits_j\frac{\partial T_2}{\partial \dot q_j}\dot q_j=2T_2\\\\
\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j=\sum\limits_j\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\dot q_j=T_1+2T_2
$$
于是有
$$
H=\sum\limits_j\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\dot q_j-L=T_1+2T_2-(T-U)=T_2-T_0+U
$$
对于定常系统,因$T_0=0$,$T_2=T$,则哈密顿函数$H=T+U$(机械能),所以可称哈密顿函数为广义能量

10.2.5. 保守系统的首次积分

如果拉格朗日函数$L$(或哈密顿函数$H$)不显含某个广义坐标$q_k$,则有
$$
\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\Big)=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}=\mathrm {const}
$$
或者
$$
\frac{\partial H}{\partial q_k}=0\Rightarrow \dot p_k=0\Rightarrow p_k=\mathrm {const}
$$
这意味着广义动量守恒,该首次积分通常称为广义动量积分或循环积分

现在考查广义能量的变化率(全导数)
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm d H}{\mathrm dt}&=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum\limits_j\Big(\frac{\partial H}{\partial q_j}\dot q_j+\frac{\partial H}{\partial p_j}\dot p_j\Big)\\\\
&=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum\limits_j\Big(\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}+\frac{\partial H}{\partial p_j}\Big(-\frac{\partial H}{\partial q_j}\Big)\Big)=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}
\end{align}
$$
如果哈密顿函数$H$不显含时间$t$(或拉格朗日函数$L$不显含时间$t$),则有
$$
\frac{\partial H}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=0\Rightarrow H=\mathrm {const}
$$
意味着广义能量守恒,该首次积分通常称为广义能量积分

这两类首次积分可以总结为:

  • 若哈密顿函数$H$不显含某个广义坐标$q_k$,则相应的广义动量$p_k$守恒
  • 若哈密顿函数$H$不显含时间$t$,则广义能量$H$守恒
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Wenbo Chen
作者
Wenbo Chen
CG Student

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