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Bezier样条

1. 参数与几何连续性

1.1. 参数连续性

  • 连接曲线——连续性

    • 给定两条曲线

      \[ \begin{align} &\pmb x_1(t)\ \mathrm{over}\ [t_0,t_1]\\\\ &\pmb x_2(t)\ \mathrm{over}\ [t_1,t_2] \end{align} \]

    • 若\(\pmb x_1\)和\(\pmb x_2\)在\(t_1\)处的0阶到\(r\)阶导数向量均重合，则\(\pmb x_1\)与\(\pmb x_2\)在\(t_1\)处\(C^r\)连续

  • 常见的参数连续性：

    • \(C^0\)：位置变化连续（position varies continuously）
    • \(C^1\)：一阶导数在交界处连续（First derivative is continuous across junction）
      • 速度向量相同
    • \(C^2\)：二阶导数在交界处连续（Second derivative is continuous across junction）
      • 加速度向量相同

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1.2. 几何连续性

  • 曲线的几何连续性

    • 给定两条曲线

      \[ \begin{align} &\pmb x_1(t)\ \mathrm{over}\ [t_0,t_1]\\\\ &\pmb x_2(t)\ \mathrm{over}\ [t_1,t_2] \end{align} \]

    • 若\(\pmb x_1\)和\(\pmb x_2\)能够以某种方式重新参数化使得在\(t_1\)处\(C^r\)连续，则\(\pmb x_1\)和\(\pmb x_2\)在\(t_1\)处\(G^r\)连续

  • 常见的几何连续性

    • \(G^0=C^0\)：位置变化连续性（连接性）（position varies continuously）
    • \(G^1\)：切线方向变化连续性（相同切线）（ tangent direction varies continuously ）
      • 正则化切线变化连续
      • 等价于曲线能够重新参数化到\(C^1\)
      • 等价于单位速度参数化为\(C^1\)
    • \(G^2\)：曲率变化连续性（相同切线与曲率）（curvature varies continuously）
      • 等价于曲线能够重新参数化到\(C^2\)
      • 等价于单位速度参数化为\(C^2\)

1.3. 参数连续性 vs 几何连续性

参数连续性\(C^r\) 几何连续性\(G^r\)
\(C^0,C^1,\cdots\)连续 曲线本身是否光滑
在该曲线上运动的粒子是否有光滑的轨迹？（位置、速度、加速度） 独立于参数化方式
取决于参数化方式 与建模更相关（曲线设计）
应用：动画（物体移动、摄像头轨迹）

2. Bezier样条参数化

2.1. Bezier样条曲线的局部和全局参数

  • 给定
    • \(\pmb b_0,\cdots,\pmb b_n\)
    • \(\pmb y(u)\)：间隔\([0,1]\)之间的Bezier曲线
    • \(\pmb x(t)\)：间隔\([t_i,t_{i+1}]\)之间的Bezier曲线
  • 设置\(u(t)=\dfrac{t-t_i}{t_{i+1}-t_i}\)
  • 结果：\(\pmb x(t)=\pmb y(u(t))\)

局部参数\(u\)从0变化到1，全局参数\(t\)从\(t_i\)变化到\(t_{i+1}\)

2.2. Bezier样条曲线的导数

\[ \begin{align} \dot{\pmb x}(t)&=\dot{\pmb y}(u(t))\cdot\dot u(t)=\dfrac{\dot{\pmb y}(u(t))}{t_{i+1}-t_i}\\\\ \ddot{\pmb x}(t)&=\ddot{\pmb y}(u(t))\cdot(\dot u(t))^2+\dot{\pmb y}(u(t))\cdot\ddot u(t)=\dfrac{\ddot{\pmb y}(u(t))}{(t_{i+1}-t_i)^2}\\\\ \cdots\\\\ \pmb x^{[n]}(t)&=\dfrac{\pmb y^{[n]}(u(t))}{(t_{i+1}-t_i)^n} \end{align} \]

2.3. Bezier曲线

\[ \pmb f(t)=\sum_{i=0}^nB_i^n(t)\pmb p_i \]

  • \(\{0,1\}\)之间的函数值 $$ \begin{align} \pmb f(0)&=\pmb p_0\\ \pmb f(1)&=\pmb p_1 \end{align} $$

  • \(\{0,1\}\)之间的一阶导数向量 $$ \begin{align} \pmb f'(0)&=n[\pmb p_1-\pmb p_0]\\ \pmb f'(1)&=n[\pmb p_n-\pmb p_{n-1}] \end{align} $$

  • \(\{0,1\}\)之间的二阶导数向量 $$ \begin{align} \pmb f''(0)&=n(n-1)[\pmb p_2-2\pmb p_1+\pmb p_0]\\ \pmb f''(1)&=n(n-1)[\pmb p_n-2\pmb p_{n-1}+\pmb p_{n-2}] \end{align} $$

2.4. Bezier样条曲线的特殊情况

\[ \begin{align} \dot{\pmb x}(t_i)&=\dfrac{n(\pmb b_1-\pmb b_0)}{t_{i+1}-t_i}\\ \dot{\pmb x}(t_{i+1})&=\dfrac{n(\pmb b_n-\pmb b_{n-1})}{t_{i+1}-t_i}\\ \ddot{\pmb x}(t_i)&=\dfrac{n(n-1)(\pmb b_2-2\pmb b_1+\pmb b_0)}{(t_{i+1}-t_i)^2}\\ \ddot{\pmb x}(t_{i+1})&=\dfrac{n(n-1)(\pmb b_n-2\pmb b_{n-1}+\pmb b_{n-2})}{(t_{i+1}-t_i)^2}\\ \end{align} \]

2.5. Bezier样条的一般情况

  • 连接Beizer曲线

    • 给定两条\(n\)阶Bezier曲线： $$ \begin{align} \pmb k_{j-1}&=\pmb b_0^-,\pmb b_1^-,\cdots,\pmb b_n^-=\pmb k_j\\ \pmb k_j&=\pmb b_0^+,\pmb b_1^+,\cdots,\pmb b_n^+=\pmb k_{j+1} \end{align} $$ image-20200928094643148

    • 要求：\(\pmb k_j\)处\(C^1\)连续

    • \(\pmb b_{n-1}^-,\pmb k_j,\pmb b_1^+\)不共线且 $$ \dfrac{\pmb b_n^--\pmb b_{n-1}^-}{t_j-t_{j-1}}=\dfrac{\pmb b_1^+-\pmb b_0^+}{t_{j+1}-t_j} $$ image-20200928094905824

4. Bezier样条阶数

4.1. 可选的方案

  • \(d=0\)，分段常数（piecewise constant）：不光滑
  • \(d=1\)，分段线性（piecewise linear）：不够光滑
  • \(d=2\)，分段二次（piecewise quadratic）：二阶导数为常数，不够灵活
  • \(d=3\)，分段三次（piecewise cubic）：计算机图形学应用中常用的阶数

4.2. 三次样条

4.2.1. 三次分段多项式

  • 我们可以在不固定整个曲线的二阶导数的情况下获得\(C^2\)连续性（？）

  • \(C^2\)连续性在直觉上很重要

    • 运动：连续的位移、速度和加速度

      非连续的加速度是可察觉的（物体、摄像机运动）

    • 可以看到二阶阴影不连续（反射性的物体）

  • 在所有点集内插得到的\(C^2\)曲线中（满足相同的始末状态），分段三次曲线拥有最小的积分加速度（即所能获得的最光滑的曲线）

4.2.3. 应用

  • 三次Bezier曲线被广泛使用
  • 更高阶的Bezier曲线较少使用（某些CAD/CAM应用）
  • 典型的："points&handles"接口
  • 四种模式
    • 不连续（两条曲线）
    • \(C^0\)连续（两个点重合）
    • \(G^1\)连续（切向连续）
      • 处理点指向同一方向，但长度不同
    • \(C^1\)连续
      • 处理点有对称向量
  • \(C^2\)的限制更大：通过\(k_i\)进行控制

5. Bezier样条的连续性

5.1. Bezier样条连续性规则

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连接多条曲线段，需要确定使曲线有\(C^{-1},C^0，C^1，C^2\)连续性的控制点约束

\(C^0\)连续性

  • 每个样条线段内插第一个和最后一个控制点
  • 相邻线段的点必须重合以获得\(C^0\)连续性

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\(C^1\)连续性

  • 切向量与向量差\(\pmb p_1-\pmb p_0,\pmb p_n-\pmb p_{n-1}\)成正比
  • 这些向量应相同以满足\(C^1\)连续性

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\(C^2\)连续性

  • \(\mathrm d^2/\mathrm dt^2\)向量与\(\pmb p_2-2\pmb p_1+\pmb p_0\)和\(\pmb p_n-2\pmb p_{n-1}+\pmb p_{n-2}\)成正比
  • 切线必须相同
  • 下示阴影三角形必须相似

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\(G^1\)连续性

能够被参数化为\(C^1\)，只需按切线向量长度的比率增加第二个曲线段的速度

6. Bezier样条曲线

6.1. 在某点处\(C^2\)连续

要求：在\(\pmb k_j\)处\(C^2\)连续

  • \(C^1\)意味着 $$ \dfrac{\pmb b_n^--\pmb b_{n-1}^-}{t_j-t_{j-1}}=\dfrac{\pmb b_1^+-\pmb b_0^+}{t_{j+1}-t_j} $$

  • \(C^2\)意味着 $$ \dfrac{\pmb b_n^--2\pmb b_{n-1}^-+\pmb b_{n-2}^-}{(t_j-t_{j-1})^2}=\dfrac{\pmb b_2^+-2\pmb b_1^++\pmb b_0^+}{(t_{j+1}-t_j)^2} $$

  • 令 $$ \pmb d^-=\pmb b_{n-1}^-+\dfrac{\Delta_j}{\Delta_{j-1}}(\pmb b_{n-1}^--\pmb b_{n-2}^-) $$ 和 $$ \pmb d^+=\pmb b_1^+-\dfrac{\Delta_{j-1}}{\Delta_j}(\pmb b_2^+-\pmb b_1^+) $$ 则有：

    \(C^2\)连续性\(\Leftrightarrow C^1\)连续性+\(\pmb d^-=\pmb d^+\)

    image-20200928110134088

6.2. 曲线的\(G^2\)连续性

一般情况下的\(G^2\)连续性（对所有类型的曲线）

  • 给定

    • \(\pmb x_1(t)\)和\(\pmb x_2(t)\)满足
    • \(\pmb x_1(t_i)=\pmb x_2(t_i)=\pmb x(t_i)\)
    • \(\dot{\pmb x}_1(t_i)=\dot{\pmb x}_2(t_i)=\dot{\pmb x}(t_i)\)

  • 满足在\(t=t_i\)处\(G^2\)连续的条件是： $$ \ddot{\pmb x}_2(t_i)-\ddot{\pmb x}_1(t_i)\parallel \dot{\pmb x}(t_i) $$ image-20200928111731372

6.3. 某点的\(G^2\)连续性

  • 要求：曲线在点\(\pmb k_j\)处\(G^2\)连续

  • \(G^1\)连续

  • \(\pmb b_{n-2}^-,\pmb b_{n-1}^-,\pmb k_j,\pmb b_1^+,\pmb b_2^+\)五个向量共面

  • 且面积 $$ \dfrac{\mathrm{area}(\pmb b_{n-2}^-,\pmb b_{n-1}^-,\pmb k_j)}{\mathrm {area}(\pmb k_j,\pmb b_1^+,\pmb b_2^+)}=\dfrac{a^3}{b^3} $$ image-20200928145817528

7. \(C^2\)三次Bezier样条曲线

7.1. 三次Bezier样条曲线

  • 给定 $$ \begin{align} \pmb k_0,\cdots,\pmb k_n&\in\mathbb R^3\ t_0,\cdots,t_n&\in\mathbb R\ t_i<t_{i+1}\ \mathrm{for}\ &i=0,\cdots,n_1 \end{align} $$

  • 目标：插值\(C^2\)连续分段三次Bezier样条曲线的Bezier点\(\pmb b_0,\cdots,\pmb b_{3n}\)

  • 例子：

    image-20200928150428655

    • \(3n+1\)未知点
    • \(\pmb b_{3i}=\pmb k_i\)，\(i=0,\cdots,n\)，共\(n+1\)个方程
    • 点\(\pmb k_i\)处\(C^1\)连续，\(i=1,\cdots,n-1\)，共\(n-1\)个方程
    • 点\(\pmb k_i\)处\(C^2\)连续，\(i=1,\cdots,n-1\)，共\(n-1\)个方程
    • 两个结束条件方程

7.2. 结束条件

7.2.1. Bessel end condition

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  • \(\pmb k_0\)处的切向量等价于插值\(\{\pmb k_0,\pmb k_1,\pmb k_2\}\)的抛物线在\(\pmb k_0\)处的切向量

  • 抛物线插值\(\{\pmb k_0,\pmb k_1,\pmb k_2\}\) $$ \pmb p(t)= \dfrac{(t_2-t)(t_1-t)}{(t_2-t_0)(t_1-t_0)}\pmb k_0+ \dfrac{(t_2-t)(t-t_0)}{(t_2-t_1)(t_1-t_0)}\pmb k_1+ \dfrac{(t_0-t)(t_1-t)}{(t_2-t_1)(t_2-t_0)}\pmb k_2 $$

  • 插值抛物线导数 $$ \dot{\pmb p}(t_0)= -\dfrac{(t_2-t_0)+(t_1-t_0)}{(t_2-t_0)(t_1-t_0)}\pmb k_0+ \dfrac{(t_2-t_0)}{(t_2-t_1)(t_1-t_0)}\pmb k_1- \dfrac{(t_1-t_0)}{(t_2-t_1)(t_2-t_0)}\pmb k_2 $$

  • \(\pmb b_1\)的位置 $$ \pmb b_1=\pmb b_0+\dfrac{t_1-t_0}{3}\dot{\pmb p}(t_0) $$

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7.2.2. Natural end condition

\[ \begin{align} \ddot {\pmb x}(t_0)&=0\Leftrightarrow \pmb b_1=\dfrac{\pmb b_2+\pmb b_0}{2}\\\\ \ddot{\pmb x}(t_n)&=0\Leftrightarrow \pmb b_{3n-1}=\dfrac{\pmb b_{3n-2}+\pmb b_{3n}}{2} \end{align} \]

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7.3. 参数化

7.3.1. 问题描述

  • 给定：控制点\(\pmb k_0,\cdots,\pmb k_n\)以及结序列\(t_0<\cdots<t_n\)
  • 目标：插值曲线
  • 问题：通常情况下，结序列未给定，但会影响曲线的走势

7.3.2. Equidistant (uniform) parameterization

  • \(t_{i+1}-t_i=\mathrm{const}\)
  • 例如：\(t_i=t\)
  • 不考虑数据点的几何形状

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7.3.3. Chordal parameterization

  • \(t_{i+1}-t_i=\Vert \pmb k_{i+1}-\pmb k_i\Vert\)
  • 参数间隔与相邻控制点的距离成正比

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7.3.4. Centripetal parameterization

  • \(t_{i+1}-t_i=\sqrt{\Vert\pmb k_{i+1}-\pmb k_i\Vert}\)

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7.3.5. Foley parameterization

  • 涉及控制多边形的角度
\[ t_{i+1}-t_i=\Vert\pmb k_{i+1}-\pmb k_i\Vert\cdot\Big(1+\dfrac{3}{2}\dfrac{\hat\alpha_i\Vert\pmb k_i-\pmb k_{i-1}\Vert}{\Vert\pmb k_i-\pmb k_{i-1}\Vert+\Vert\pmb k_{i+1}-\pmb k_i\Vert}+\dfrac{3}{2}\dfrac{\hat\alpha_{i+1}\Vert \pmb k_{i+1}-\pmb k_i\Vert}{\Vert\pmb k_{i+1}-\pmb k_i\Vert+\Vert\pmb k_{i+2}-\pmb k_{i+1}\Vert} \Big) \]
  • 其中，\(\hat\alpha_i=\min\Big(\pi-\alpha_i,\dfrac{\pi}{2}\Big)\)
  • 且\(\alpha_i=\mathrm{angle}(\pmb k_{i-1},\pmb k_i,\pmb k_{i+1})\)

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7.3.6. Affine invariant parameterization

  • 基于仿射不变距离测度的参数化

7.4. 闭合曲线

7.4.1. 问题描述

  • 给定：

    控制点：\(\pmb k_0,\cdots,\pmb k_{n-1},\pmb k_n=\pmb k_0\)

    结序列：\(t_0<\cdots<t_n\)

  • 分段三次曲线的结束条件： $$ \begin{align} \dot{\pmb x}(t_0)&=\dot{\pmb x}(t_n)\\ \ddot{\pmb x}(t_0)&=\ddot{\pmb x}(t_n) \end{align} $$

7.4.2. 闭合三次Bezier样条曲线

  • \(C^2\)连续且曲线闭合

  • 闭合曲线的优势：无需选择结束条件

  • 例子：

    \(n=3\)

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